一道2019年高考题的几种解法

摘 要：本文利用三角函数的图象与性质，运用数形结合与整体代换的数学思想，探究由函数零点求参数ω的取值范围的思路和方法.

关键词：取值范围;方程;换元;图象

作者简介：陈东（1971-），男，甘肃高台人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学教学.

三角函数f（x）=sinωx+φ是高中数学中的重要初等函数之一，其中求参数ω的取值范围问题是高考的常考知识点.本文以2019年全国Ⅲ卷理科第12题结论④为例，探究由函数零点求参数ω的取值范围的一些思路和方法.

1 试题呈现

题目 （2019年全国Ⅲ卷理12题）设函数f（x）=sinωx+π5ω>0，已知f（x）在0，2π有且仅有5个零点，下述四个结论：

①f（x）在0，2π有且仅有3个极大值点;

②f（x）在0，2π有且仅有2个极小值点;

③f（x）在0，π10单调递增;

④ω的取值范围是125，2910 .

其中所有正确结论的编号是（）.

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

2 試题解析

2.1 利用方程求解

解法1 令f（x）=sinωx+π5=0，得ωx+π5=kπk∈Z，则x=kπ-π5ω.

当k=5时，x=5π-π5ω;

当k=6时，x=6π-π5ω.

因为f（x）在0，2π有且仅有5个零点，

所以5π-π5ω≤2π，6π-π5ω>2π，解得125≤ω<2910.

2.2 利用换元求解

解法2 令t=ωx+π5，则f（t）=sint.

因x∈0，2π，则t=ωx+π5∈π5，2πω+π5.

因为f（x）在0，2π有且仅有5个零点，则f（t）在π5，2πω+π5有且仅有5个零点.

画出函数f（t）的图象（图1），可知5π≤2πω+π5<6π，解得125≤ω<2910.

2.3 利用图象求解

解法3 根据题意，画出函数f（x）=sinωx+π5（ω>0）的示意图（图2），由图可知2π∈m，n.

由ωm+π5=5π，ωn+π5=6π，解得m=24π5ω，n=29π5ω.

则24π5ω≤2π<29π5ω，解得125≤ω<2910.

2.4 利用周期求解

解法4 由题意，画出函数fx示意图（图2），由图可知2π∈m，n.由 m=5T2-π5ω≤2πn=3T-π5ω>2π（其中周期T=2πω），解得125≤ω<2910.

对于三角函数中参数ω的取值范围问题，要充分利用函数的图象与性质，运用数形结合与整体代换的数学思想，建立关于ω的方程或不等式求解.

（收稿日期：2019-08-18）