落实反思，提升效率

罗兴政

[摘 要] 数学解题后的思考与反馈有助于学生对所学内容的自发领悟以及对问题深层结构的探触，同时还有利于教师对问题本质的分析并依此对问题进行一系列的变化与改变以促进学生思维能力的发展.

[关键词] 高中数学；解题反思；反馈

习题教学的终点不是完成问题的解答，而是数学知识与方法的内化，解题后的思考与反馈是促进学生内化知识、解题技巧与思想方法的重要一环，高中数学教师在解题教学中应培养学生及时思考与反馈的习惯，这有助于学生进一步揭示解题后思考与反馈的意义和价值. 本文是笔者结合一个具体的教学案例，就如何在学生完成例题的求解后，引导学生反思，完成思考与反馈环节谈一点自己体会，望能有助于高中数学习题课教学实践.

例题呈现及常规解法

分析：上述“通法”是绝大多数学生在解决此类问题时最容易联系到的方法，解题成功率相当高，如果我们的教学仅仅满足于此，学生仅仅是获得了问题的答案，没有太大的能力提升，笔者认为这道题在学生完成解答后，还可以进一步引导学生解题后反思，进一步挖掘其教学价值.

二次反思，发现新思路

为了促进学生能够有效反思且有所发现笔者认为我们要做适当的指引，主要可以从如下两个方面着手.

1. 反思解法的正确性

学生在解题过程中有很多错误或者新的方法是可以通过反思来自己发现的，这就需要我們引导学生思考自己的解法有没有将题目中给出的“条件”与“结论”进行过分析，在得到结论的过程中有没有证据？该解法是不是唯一的解法？

2. 反思这类题目的最大特点

对数学问题特点的反思，能够引领学生越来越接近数学问题深层的结构，更容易把握一类问题.

3. 发现新的解题思路

对上述三角换元将问题简化并求解的方法不再一一赘述.

再次反思：重新认识题目并对解法进行评价

前面的二次反思还并非是终点，因为前面反思的收获还是零散的，再次反思能够将零散的收获凝聚起来，实现认识的升华.

1. 对题目认识的提升令题目一题多解

2. 对众多解法的评价

解法一利用了重要不等式使得问题得以简化并顺利求解，事实上，解法二、解法三与解法一在本质上都是将代数问题转化成几何问题. 参数、判别式、几何等一系列解法对于本文中所讨论的这一类题目来说都是行之有效的，而从全新的角度对题目进行诠释与解答的解法四虽然看似烦琐，但其整个分析与解法所呈现出的思路却很清晰，可以说是一种很好的思考方式.

对数学解题后反思的思考

作为教师，我们引导学生数学解题后反思有怎样的价值？又该如何引导学生进行解题后反思呢？

1. 价值分析

有助于探触问题的深层结构. 解题后的思考与反馈能使学生对题目进行重新认识并对解题中所运用的知识和方法进行概括与提炼，一题多解也更加容易水到渠成，学生在一题多解的过程中也更易有效把握各种方法的实质.

有助于教师进行变式教学. 解题后的思考与反馈使得教师能够及时而准确地明确题目的背景、考查意图，并以此引导学生不断探寻各种解法.根据学生的“最近发展区”进行变式教学也因此有了有力的依据，学生解题水平的提升以及思维能力的提高往往得益于解题后的不断思考与反馈. 比如，本文所讨论的例题在上述种种解法得以探究之后，还可以继续编拟出以下题目供学生进行练习：

有助于学生对所学内容的自发领悟. 对解题过程进行自觉反思能够有效增强学生自发领悟的意识并缩短其自觉分析的转变过程，这一解题后的有效反馈是解题能力实质性提升的关键.

2. 如何进行解题后的思考与反馈

对数学命题的重新认识以及对于解题方法的评价都是数学解题后的思考与反馈所包含的内容.

（1）对数学命题重新认识一般包含以下内容：

①解法是否正确？②是否对条件与结论进行过一定的讨论？③题目背景的探索以及对结论的特殊化或一般化.

（2）对于各种解题方法的评价一般包含以下内容：

①题目本身可存在哪些特点？解题时是如何利用这些特点的？可得到什么教训？②哪些知识和方法在解题中得到了应用？关键在哪里？结构框图可否画出？③可有其他解法？可有更一般、更特殊、更简单或更多的方法？④方法可否推广？推广中需要改变或者创新吗？⑤众多解法中是否存在对今后解题具备一定意义与价值的方法？

我们在波利亚的解题观点中形成很多具有启发性的想法，也在罗增儒教授的精辟描述中学会很多具有实际操作意义的方法，本文只是结合实际案例对解题后思考与反馈的一点体会，欢迎各位同行与笔者及时交流并促进解题教学的日益完善.