“思维表达型”数学课堂的构建与实践

林伟

[摘 要] “思维表达”型数学课堂基于学习过程中诸要素配置合理和谐的基础，合理搭配各个学习过程中的要素，通过教师、学生、课堂之间的思维性对话产生互通，致力于培養学生的数学思维品质，构建高效课堂学习环境，实现从掌握与知识和能力到提升思维与智慧的转向. 学生的学习从表层学习走向深度理解性高效学习，从而通过学习数学思维来改变生活行为，进而改变习惯，改变人格.

[关键词] 思维表达；课型；课堂；框架；实践

“思维表达”型数学课堂的提出

课堂中的正式学习是培育和落实数学素养的主渠道，目前，课堂学习中存在着一些亟需面对和解决的问题.首先，学习过程中的师生关系及学习的内容、学习方法，学习评价等诸要素之间搭配欠缺合理性，关系不融洽. 这主要体现在：学生的实际学习过程中，要么缺少或弱化了某一些要素；要么要素配置不适合学生的实际需要而生搬硬套. 其次，各要素之间的思维含量缺乏整体互通性，没有形成良好的互为关照，学习者在学习后尚未形成既定达成的思维品质. 因此，基于学习和借鉴斯滕伯格思维教学理论、布鲁姆掌握学习理论和建构主义理论以及新课程理念，总结以往课堂教学改革实践经验，笔者提出并探索了建设“思维表达”型数学课堂的构想.

“思维表达”型数学课堂的内涵

“思维表达”型课堂基于学习过程中诸要素配置合理和谐的基础，合理搭配各个学习过程中的要素，通过教师、学生、课堂之间的思维性对话产生互通，致力于培养学生的数学思维品质，构建高效课堂学习环境，实现从掌握知识和能力到提升思维与智慧的转向.

1. 概念阐述

“思维表达”型数学课堂是一种“师生共生”的课堂，教师精心设计贴近学生思维表达的问题情境，学生基于此情境展开学习和思考，其思维能力不断地被提升，即思维的概括性、多维性、整体性、逻辑性、适应性和创新性等皆在此学习过程中被提升. 该课堂旨在为改变思维而教（学），学生的学习从表层学习走向深度理解性高效学习，从而通过学习数学思维来改变生活行为，进而改变习惯，改变人格，适应复杂多变的未来时代.

2. 特征解读

“思维表达”型数学课堂的基本特征体现为民主平等、现代开放、丰富多元、师生共学和卓越发展. 首先，“民主平等”指的是师生之间的关系是平等的，教师只是学生学习的引导者和参与者，通过与学生的交流互动来确立教学目标、选择教学方式、采用教学评价、布置课堂作业等，学生在此过程中实现充分的参与感. 第二，“现代开放”即教学内容、教学手段、教学环境等的开放. 教师需立足并超越教材，研究、挖掘教材，将教材内容与现实生活相连接；根据“互联网+”时代的需要，教学内容贴合学生实际，充分利用好教育信息技术；学生在课堂上进行正式学习，此外，需提供开放选择的课下的拓展研究性课程. 第三，“丰富多元”即教学方式、学习方式和评价方式多元. 课堂形态多元化，采取多种方式来引导学生学、思、研、做和评，如：情境设计、问题牵引、活动体验、交流展示、讨论对话等；发展“自主、合作、探究”的学习方式，尊重学生的主体性地位，将 “学生自学、生生共学、师生共学和远程共学”结合并统一；评价方式应重视过程性评价，方式多元化，坚持个体评价与小组评价相结合，定性评价与定量评价相结合. 第四，“师生共学”是指在课堂上教师作为“学习者”和学生一起学习，一起收获并成长，以此实现师生共赢的课堂，挖掘课堂的最大价值. 最后，“卓越发展”是指“规范课堂—高效课堂—精品课堂”的发展过程，即要处理好传承与发展、借鉴与创新、规范与自由的关系，在确保课堂全面转型的基础上，追求个性化的“卓越课堂”.

“思维表达”型数学课堂的实践路径

基于“思维表达”型数学课堂的基本内涵特征，笔者探索并构建出“思维表达”型数学课堂的实践路径，如图1所示，该课堂实践路径主要有以下九个环节：第一，学生思维可视化有理有据表达；第二，呈现思维过程；第三，呈现思维方法；第四，换位思维，推测别人观点的思维过程方法；第五，引导质疑思维；第六，引爆创新思维；第七，阐述教师思维观点；第八，形成优化团体思维；最后，达成思维成果. 表达重心旨在培养学生有理有据、说有观点的话；表达仅仅是思维暴露，观点的质疑补充、方法的创新、思维的优化与提升等争辩反馈才是思维课堂需要放大的地方. 其教育意义在于：通过改变思维来改变生活行为，进而改变习惯，改变人格.

“思维表达”型数学课堂上学生具有充分的学习时间，明确的学习目标，主动学习状态，集中的学习注意力，自觉的学习策略，自由选择的学习内容，高效的学习效果，愉悦的学习体验. 与此同时，想要让学生达到这样的适切的体验，对教师而言，在“思维表达”型数学课堂教师是学生的引导者、辅助者、共同参与学习的学习者.当学习时间不充分，教师提高教学效率，为学生提供更多的学习时间；目标不明晰时，教师及时指明方向，引导学生朝着既定目标迈进；状态不主动时，教师开导激活学习动机，激发学生的学习参与热情；氛围不专注时，教师倡导营造课境，让学生更加关注学习和思考；策略不自觉时，教师适当指导渗透学法，给学生提供思路参考；内容不开放时，教师诱导鼓励探究，开发更多潜在资源；效果不理想时，教师疏导开掘潜能，挖掘学生的多种可能性；体验不愉悦时，教师化导赏识人格，以情动学.

“思维表达”型数学课堂教学的实践探索

思维表达型数学课基于现代教学发展的方向和中学生认知心理特点，探索学生如何在教师的引导下通过自主或合作探究的方式了解公式的生成过程， 对于相关知识和概念的掌握也更为牢固，对如何使更多的学生积极参与探究、形成对数学学习的兴趣以及如何进一步提高教学针对性等问题给予关注. 笔者以“三角函数的诱导公式”作为切入点，旨在探索“思维表达”型数学课堂模式在课堂教学中的实际运用.

学习“三角函数的诱导公式”之前，学生已经学习过的三角函数定义、单位圆中的三角函数线、同角三角函数关系式等知识，本节课是对这些知识的延伸和拓展，同时也是推导诱导公式的基础，在三角函数这一章中发挥着承上启下的重要作用. 因此，本节课的教学目标共有五个. 第一，帮助学生理解相关知识，并在此基础上将诱导公式记熟；第二，能够独立运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，同时具备简单的三角变换能力；第三，在教学过程中，使学生经历从几何特征（即终边的对称）到发现数量关系（即诱导公式）的探索过程；第四，使学生在推导和运用公式的过程中体会到数形结合、转化与化归等思想方法；第五，使学生形成对三角函数和周期性变化间内在联系的初步体会.

（一）创设情境，引导学生思维

1. 创设问题情境，让学生思维可视化

第一个环节，即创设问题情境环节，笔者将三角函数诱导公式的学习放在了“建构和研究刻画周期性的数学模型”这个情境问题下进行，以此向学生展现三角函数的本质——周期性函数.创设问题情境的设计如下所示：

同学们，在之前的学习中， 我们已经了解了任意角三角函数的相关概念.简单地讲，三角函数，就是以圆周运动为原型、以刻画周期性运动为目标而构建的数学模型. 那么，周期性是如何体现在三角函数概念之中的呢？下面就让我们带着这样的疑问开始本节课的学习.

第二个环节，本环节分为三个知识点学习，遵循“提出问题—解决问题—小结—应用”这样的逻辑展开学习.

2. 阐述教师思维观点，引导学生质疑思维

第一个知识点是引导学生探究新知识，新课标强调，数学教育应重视知识的发生和发展，考虑到三角函数值取决于角的终边位置，在课堂教学中从终边位置的关系提出问题，让学生在思考和解决问题的过程中能够通过几何来更加直观地发现数量关系，获得将角的终边所具有的特定位置转化为三角函数的学习体验， 最终将三角函数的周期性牢牢记在心中. 第二个知识点是由终边重合开始，逐步向终边关于原点对称进行过渡，这种做法与学生的认知规律相符，能够帮助他们对正切函数的周期性形成更好的体会. 第三个知识点，重点突出“以问题为中心”，学生对公式进行自主探究，教师巡视指导，最后展示学生的思路和成果. 这种做法可以帮助培养学生勇于探索的精神及自主学习的能力，在突出学生主体地位的同时让他们体会转化这一数学思想，加深对公式间联系的印象. 最后，揭示课题，笔者将这几组公式称为诱导公式，它们可以揭示出终边存在某种对称关系的两个角在三角函数值方面的关系.

（二）问题牵引，让学生展示思维

1. 终边相同角的三角函数

（1）活动体验，呈现学生思维过程

向学生展示课件，已知任意角α，观察角α的终边绕原点做逆时针旋转的全过程.

问题1：在这个过程中，有哪些东西会周而复始地反复出现呢？

（2）活动体验，呈现学生思维方法

视学生的实际回答提出以下提示性问题.

问题1-1：角的终边位置会不会重复出现？三角函数值会不会重复出现？

问题1-2：角的终边位置会在什么时候重复出现？三角函数值会在什么时候重复出现？

要求学生通过数学等式将分析所得结论表示出来：

讓学生回到定义来解决问题.

（3）讨论对话，达成学生思维成果

通过对问题解决思路的分析与回顾，我们可以得到下面的框图：

（4）应用训练，引爆学生创新思维

在出示习题的同时，应向学生指出：通过公式，可以将任意角三角函数转化成我们已经非常熟悉的0～2π角三角函数值.

（1）活动体验，呈现学生思维过程

问题2：如果角α终边绕原点逆时针旋转半周，那么它的三角函数值是否会重复出现？

（2）活动体验，呈现学生思维方法

问题2-1：角α与角β的终边有怎样的位置关系？

问题2-2：角α与角β终边上点的坐标有怎样的关系？

经过讨论可以得出：

（3）讨论对话，达成学生思维成果

通过回顾问题的解决思路，我们可以得到下面的框图：

（4）应用训练，引爆学生创新思维

在出示习题的同时，应向学生指出：通过公式，我们掌握了角α与角π+α的关系，由此我们可以将π～2π角的三角函数转化为0～π的三角函数.

设计意图：由终边重合开始，逐步向终边关于原点对称进行过渡，这种做法与学生的认知规律相符，能够帮助他们对正切函数的周期性形成更好的体会.

3. 角α与-α的三角函数关系

（1）活动体验，呈现学生思维过程

学生探究活动：值得我们研究的终边特殊位置关系还有哪些？

问题3：角α与角β的终边关于x轴对称，则它们的三角函数有怎样的关系？如果关于y轴对称，它们的三角函数又有怎样的关系？

（2）活动体验，呈现学生思维方法

学生以小组为单位，在预先准备好的单位圆中进行研究和交流.

（四）回顾反思，达成思维成果

本环节设计课堂回顾部分的目的是引导学生对本节课进行归纳和总结，形成对诱导公式本质和作用的进一步认识，以此帮助学生形成知识、方法网络，从而帮助学生巩固在本节课所学知识，训练基本方法和技能，使学生形成良好的学习习惯. 习题采用由浅入深的梯度布置，目的是让不同能力的学生都有所发展，这也是因材施教原则的体现.

1. 课堂回顾

问题：从思想方法、知识点的层面对本节课做一个回顾.

三角函数诱导公式的推导：从本质上来看，公式就是将终边对称的图形关系转化为三角函数的代数关系，其思路可简化为：角的数量关系→终边位置的对称关系→终边上点的坐标关系→三角函数的关系.

三角函数诱导公式的运用：包括求值、化简等.

数学思想方法：数形结合、转化、化归.

2. 作业布置

本节课的探究活动是从学生最近所学知识出发，通过“思维表达”型数学课堂的教学模式的具现化，即创设问题情境→引导学生自主探究→构建数学知识理论→实际运用→回顾反思，帮助学生自主开展探究活动，教师在其中发挥引导和辅助的作用，与学生共同实现教学目标，实现“师生共学”的和谐学习氛围. 在学生原有认知结构的视角提出全新的问题，即在建构和研究刻画周期性数学模型这个大背景下进行诱导公式的学习，不仅符合学生的认知规律，而且也充分尊重学生的主体地位. 在教师的帮助和引导下，学生以小组形式开展探究活动，在轻松愉悦的良好氛围下，类比联想、数形结合、等价转化等数学思想方法在小组内部得到充分交流，既有利于弥补学生知识或理念的局限性，又能帮助他们更好地掌握三角函数诱导公式，体现了对知识生成的重视，提高了学生的数学素养.

结速语

笔者经过多年的探索和实践，探索出“思维表达”型课堂，即由教师主导的“先教后学”思维转向师生合学的“先学后导”思维；由单一的新授课转向多元的课型体系；由传递知识为主的教学转向问题导学为主的学习. 通过学习中的数学思维的培养，引导学生养成基本的数学素养和感知数学文化，享受数学魅力，实现学生的数学素养的培养和形成，从思维上逐渐养成良好习惯和人格.