巧用导数解决函数单调性问题

☉江苏省江都中学 陈泽民

在解决一些函数单调性问题时，往往可以利用导数这一有效工具，结合导函数的正负取值情况来解决与之相关的函数单调性问题.利用导数研究函数单调性问题，可以解决函数值的大小比较，确定单调区间，处理相应的图像与参数问题，以及证明不等式等，同时也是解决函数的极值与最值的理论基础所在.

一、函数值大小的比较

在解决一些函数值大小的比较关系中，经常采用函数的构造，通过求导，结合函数在给定区间的单调性，进而确定相应函数值的大小，达到解决问题的目的.

例1若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）.

分析：从条件f′（x）＞k＞1入手，分别构造函数g（x）=f（x）-kx，h（x）=f（x）-x，利用函数的单调性，结合选项中自变量x的取值加以赋值，进而判断函数值大小不等关系的真与假.

解：由已知条件f′（x）＞k，构造函数g（x）=f（x）-kx，则有g′（x）=f′（x）-k＞0，即g（x）是R上的增函数.

所以结论中一定错误的是选项C，选项D不确定.

由已知条件f′（x）＞1，构造h（x）=f（x）-x，则有h′（x）=f′（x）-1＞0，即h（x）是R上的增函数.

故选C.

点评：本题主要考查函数的基本性质，导数及其应用，函数的单调性，考查推理论证能力，运算能力等.结合题目条件，通过不同函数的构造，利用函数的单调性，结合选项中具体自变量的值加以赋值，进而判断函数值大小不等关系的正确性，达到解决问题的目的.

二、函数图像的判断

高考中经常涉及函数图像的考查，根据原函数与其对应的导函数之间的内在联系：导函数大于零的区间是原函数的增区间，小于零的区间是原函数的减区间；而导函数的增减性与函数增减性没有关系，但它刻画函数图像上点的切线斜率变化趋势，导函数递减，函数“上凸”；导函数递增，函数“下凸”.

例2函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图像如图1所示，则函数y=f（x）的图像可能是图2中的（ ）.

图1

图2

分析：根据导函数的图像在三个零点的两边导数值的符号确定原函数在给定区间上的单调性，从而得以正确判断.

解：根据题中导函数y=f′（x）的图像可知其有三个零点，记导函数y=f′（x）的零点从左到右分别为x1＜0＜x2＜x3.

又在（-∞，x1）上f′（x）＜0，在（x1，x2）上f′（x）＞0，在（x2，x3）上f′（x）＜0，在（x3，+∞）上f′（x）＞0，所以函数y=f（x）在（-∞，x1）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，在（x2，x3）上单调递减，在（x3，+∞）上单调递增，则只有选项D中的图像满足条件.

故选D.

点评：本题考查了函数与导数的图像、导数的实际意义等知识，重点考查的是识图能力与逻辑推理能力，以及对数学的探究能力和应用能力.巧妙地把函数的图像与零点加以综合，交汇函数的图像与性质、导数的性质与零点等相关知识来达到考查能力、提升应用的目的.

三、参数取值范围的确定

利用导数结合函数的单调性来求解相关参数的取值范围问题，关键是利用导函数在对应区间上的正负不等关系式来分析，进而把对应的参数转化为含有自变量x的不等式，利用对应函数在给定区间上的值域问题来确定相关参数问题.其思路是先求导，再利用导数与函数的单调性的关系来解决.

例3设函数f（x）=x3+ax2+bx+c，设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围.

分析：利用导数研究函数的单调性，依据单调性和零点存在定理确定参数c的取值范围.

解：当a=b=4时，f（x）=x3+4x2+4x+c，

所以f′（x）=3x2+8x+4.

令f′（x）=0，得3x2+8x+4=0，解得x=-2或

f（x）与f′（x）随x的变化情况列表如下：

x （-∞，-2） -2 -2，-2（ ） -2 33 -2（ ）3，+∞f′（x）+0-0+f（x）↗c↘c-32 27 ↗

点评：本题主要考查常见函数的导数及导数运算法则，函数的零点，利用导数研究函数图像与性质，考查运算求解能力，分类讨论思想等.通过导数的单调性的判定，结合函数的图像及零点存在定理来解决有关函数中的零点个数问题，知识交汇创新巧妙.

四、不等式的证明

在解决一些有关函数的不等式证明问题，往往通过函数的单调性，利用函数在对应区间上的单调性来证明即可.导数与不等式证明的综合是常见的高考题型，经常涉及分类讨论、化归转化、数形结合等思想等.

例4设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数.

（1）求g（x）的单调区间；

（2）设m∈［1，x0）∪（x0，2］，函数h（x）=g（x）（m-x0）-f（m），求证：h（m）h（x0）＜0.

分析：（1）先对f（x）求导，从而得到g（x），再对g（x）求导并令其为0，最后列表求出相应的单调区间；（2）通过分析h（m）与h（x0）的特征，构造函数H1（x）=g（x）（x-x0）-f（x），H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x），通过判断相应函数的单调性确定h（m）＞0，h（x0）＜0，从而得以证明对应的不等式成立.

解：（1）由f（x）=2x4+3x3-3x2-6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2-6x-6，进而可得g′（x）=24x2+18x-6.

x （-∞，-1） -1，1（）1 4（ ）4，+∞g′（x）+-+g（x） ↗ ↘ ↗

所以g（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（-∞，-1），单调递减区间是

（2）证明：由h（x）=g（x）（m-x0）-f（m），得h（m）=g（m）（m-x0）-f（m），h（x0）=g（x0）（m-x0）-f（m）.

令函数H1（x）=g（x）（x-x0）-f（x），

则H1′（x）=g′（x）（x-x0）.

由（1）知，当x∈［1，2］时，g′（x）＞0.

故当x∈［1，x0）时，H1′（x）＜0，H1（x）单调递减；

当x∈（x0，2］时，H1′（x）＞0，H1（x）单调递增.

因此，当x∈［1，x0）∪（x0，2］，H1（x）＞H1（x0）=-f（x0）=0，可得H1（m）＞0，即h（m）＞0.

令函数H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x），

则H2′（x）=g（x0）-g（x）.

由（1）知，g（x）在［1，2］上单调递增.

故当x∈［1，x0）时，H2′（x）＞0，H2（x）单调递增；

当x∈（x0，2］时，H2′（x）＜0，H2（x）单调递减.

因此，当x∈［1，x0）∪（x0，2］，H2（x）＜H2（x0）=0，可得H2（m）＜0，即h（x0）＜0.

所以h（m）h（x0）＜0.

点评：利用导数的方法来证明有关的不等式问题时，经常通过不等式的转化、函数的设置等方法，利用导数的单调性来处理，方法巧妙易懂，简便灵活.H