如何在高三数学二轮复习教学中渗透数学思想方法

☉江苏省张家港市崇真中学 钱亚琴

高考数学命题人往往会将一整套知识理论体系和思想方法融汇在整张试卷当中，如果将构建知识网络的完整理论体系作为高三数学一轮复习的核心，那么，引导学生归纳、整理、提炼并体会整套思想方法则是高三数学二轮复习最为重要且核心的内容.二轮复习这一承上启下的过程是促进学生灵活运用知识并提升能力的关键时期，学生的思维水平与能力往往会在这一重要时期获得飞速发展.因此，教师在高三数学二轮复习的过程中要特别重视数学思想方法的归纳与整理，使学生能够不断获得思维优化与能力提升.

一、函数与方程的思想

运用运动与变化的观点对数学中的数量关系进行分析与研究并构造函数或建立函数关系，使问题在函数的图像与性质的分析与转化中得以解决就是我们经常运用的函数思想.函数思想与方程思想实际上正是对函数概念与方程概念的本质认识，利用函数知识或观点、方程或方程组的观点对问题进行分析与转化往往能令问题顺利得解.

例1 设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.

（1）试求公差d的取值范围；

（2）S1，S2，S3，…，S12中哪个最大？理由何在？

解析：（1）由a3=12，得a1=12-2d.

因为S12=12a1+66d=144+42d＞0，S13=13a1+78d=156+52d＜0，

因为d＜0，Sn为关于n的二次函数，

所以当n=6时，Sn最大.

反思：用函数的观点将数列的通项或前n项和看成为自变量的函数进行解题是非常重要且有效的.

二、转化与化归的思想

把需要解决的问题转化成已有范围内可以解决的问题的思维，即我们通常所说的转化与化归思想，具体说来，转化思想是应用已有知识、方法、技巧将问题规范化、模式化，化归思想是运用方法与手段将问题进行变换与转化并使其顺利得解.

例2 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围为（ ）.

解析：由题意得，定点为A（0，0），B（1，3），两条直线相互垂直，其交点P（x，y）落在以AB为直径的圆周上，因此|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，

反思：应用这一思想方法解题时应注意“变换”的方法，应根据题中信息探求更为有利的途径与方法并进行合理的选择.

三、数形结合思想

数形结合这一常用思想方法的应用往往会令很多问题迎刃而解，“以形助数、以数解形”的思想往往能令很多复杂的数学问题变得简单、直观而具体，学生的思维变得形象的同时也更容易把握数学问题的本质.

例3若集合M={（x，y）|x=3cosθ，y=3sinθ（0＜θ＜π）}，集合N={（x，y）|y=x+b}，且M∩N≠∅，则b的取值范围是______.

解析：M={（x，y）|x2+y2=9，0＜y≤1}，即集合M表示以（0，0）为圆心、3为半径的圆在x轴上方的部分，如图1所示；集合N则表示一条斜率k为1、纵截距为b的直线.由图可知：若使M∩N≠∅，必须使y=x+b和半圆有公共点，则b的取值范围是-3＜b≤3

反思：在直角坐标系中作出方程所表示的曲线并将所求最值转化成直线在y轴上的截距，最后结合图形进行解题是运用数形结合解决最值问题的主要环节.

图1

四、分类讨论思想

将比较复杂的问题分解或分割成若干基础问题并因此获得原问题的解答即为分类讨论思想，这就等于在题设中增添了已知条件并根据这一有效增设使得综合性的问题成功分解成了若干小问题，问题难度下降的同时也使学生的思维得到了优化.

例4已知函数f（x）=logax在［2，π］上的最大值比最小值多1，则a等于（ ）.

分析：函数的最值问题往往需要对函数单调性进行考查才能顺利得解，本题中的对数函数的增减性和底数a的取值相关，因此，对a进行分类讨论是必须的.

解：（1）当a＞1时，（fx）在［2，π］上为增函数，最大值为（fπ），最小值为（f2），由题意可得（fπ）-（f2）=1，

即logaπ-loga2=1，a=.

（2）当0＜a＜1时，（fx）在［2，π］上为减函数，最大值为（f2），最小值为（fπ），故（f2）-（fπ）=1，

即loga2-logaπ=1，a=

由（1）（2）知，选C.

反思：题中a的取值令函数的性质产生了改变，因此，解决此题首先应该对a进行分类讨论.分类讨论解题一般遵循以下步骤：（1）确定分类对象；（2）合理分类；（3）逐类讨论；（4）归纳总结并写出结论.

五、特殊与一般的思想

人们认识世界一般会经历从特殊到一般、一般到特殊的反复认识过程，数学研究一样会经历这样的过程，这种反复认知的过程往往能令解题者获得准确的思维方向与有效的解题策略.

例5 已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围为（ ）.

A.（-∞，-1］B.（-∞，0）∪（1，+∞）

C.［3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）

分析：已知a2=1，如果再知道公比，即可确定数列了，题中要求的是范围，因此可取定公比来进行分析解题.

解法1：由等比数列{an}中a2=1可知，当公比为1时，a1=a2=a3=1，S3=3. 当公比为-1时，a1=-1，a2=1，a3=-1，S3=-1，则选D.

解法2：等比数列{an}中a2=1，

所以S3∈（-∞，-1］∪［3，+∞），故选D.

反思：一次或多次取特殊数列进行淘汰直至获得正确答案，如有需要也可综合多种方法进行，必要时可以进行分类讨论，相比而言，取特殊值的方法比通性通法要简洁许多.特殊与一般这一重要的数学思想方法在很多一般性的、抽象的、运动变化的、不确定的问题中都能运用.运用“归纳——猜想——证明”这一方法解决递推数列问题时，往往首先通过对一些特例的探索得出一些一般性的规律，然后运用这些规律来解决一些特殊性的问题，这是最为常用的一种应用，对于求值、比较大小等特殊性的问题，解题者往往需要注意其数量特征并因此发现其中的一般模型，继而获得特殊问题的最终解决.

总之，教师在高考数学第二轮复习教学的过程中应重视数学思想方法的应用，引导学生加强对数学规律的理性认识并使其逐步养成良好的思维习惯，使学生在数学思想方法的渗透教学中不断对数学知识与方法的本质形成深刻的认知，有效避免复习教学的盲目与随意并获得复习效率的大力提升.H