三角函数最值的求解类型及策略

■龚 兵

三角函数的最值是研究三角函数的重要手段之一，这部分知识是近几年高考的热点，为了使同学们更好地掌握这部分知识，现就其常见的求解类型及求法进行分析。

一、形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型

策略：通过降幂转化为y=Asin2x+Bcos2x+C型，再转化为y=+C型求解。

例1求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值以及取最小值、最大值时x的取值集合。

解：由降幂公式可得函数当-1，即x的取值集合为时，y取最小值当=1，即x的取值集合为时，y取最大值

二、形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型

策略：令sinx=t或cosx=t，将原函数转化为y=at2+bt+c型求解。

例2求函数y=cos2x-3sinx+2的最值。

解：函数y=（1-sin2x）-3sinx+2=-sin2x-3sinx+3。令t=sinx，则原函数可转化为y=-t2-3t+3=-所以函数y=-t2-3t+3在t∈ [-1，1]上单调递减。故当t=-1，即sinx=-1，x=2kπ时，原函数取最大值5；当t=1，即sinx=1，x=2kπ时，原函数取最小值-1。

三、 形 如y =或型

策略：将原函数分离出一个常系数或将原函数反解求出cosx或sinx，再利用或来求解。

例3求函数的最大值和最小值。

解法1：将原函数分离常系数可得y=由-1≤cosx≤1，可得1≤2-cosx≤3，从而所以即原函数的最大值和最小值分别为3和

解法2：由解得cosx=因为所以可得3y2-10y+3≤0，解得≤y≤3。故原函数的最大值和最小值分别为3和

编者注：通过适当的三角变换，结合化归与转化、函数与方程思想是解决三角函数最值问题的有效方法。也可以通过消元、换元，转化成非三角函数的最值来求解。