基于核心素养下的高三数学复习

☉甘肃省白银市第一中学 胡贵平

提高学生的数学核心素养，发展思维能力是高三数学复习应该关注的焦点，尤其针对经典例题的教学，引导学生把握数学内容的本质，感悟数学的思想，提高复习效率.

一、培养探究复习

“倡导探究性学习”是高中数学课程标准的基本理念之一，探究性试题在高考以能力立意已成为高考命题的指导思想，以探究性学习为命题背景的探究性试题，在数学高考中出现得越来越多.通过探究性学习，有效地提高学生的数学核心素养和创造性解决问题的能力.

案例（一）三次函数的对称中心

例1（2013年全国卷Ⅱ·理10·文11）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）.

A.∃x0∈R，f（x0）=0

B.函数y=f（x）的图像是中心对称图形

C.若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）上单调递减

D.若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0

解析：对于A选项，当x→+∞，x3→+∞，ax2+bx+c增长得慢，可以忽略，则f（x）→+∞；当x→-∞，x3→-∞，ax2+bx+c可以忽略，则f（x）→-∞，又函数是连续函数，根据零点存在定理，必∃x0∈R，f（x0）=0，这就是极限思想的渗透，故A正确.

对于C选项，f′（x）=3x2+2ax+b.

（1）当Δ=4a2-12b≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在R上单调递增，此时不存在极值点.

当Δ=4a2-12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，f′（x），f（x）随x的变化情况列表如下：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x1，+∞）f′（x）+0-0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增

由表格可知，x2是极小值点，但是f（x）在区间（-∞，x2）上不具有单调性，故C不正确.

对于D选项，由极值点处的导数等于0知，D正确.

B选项是图像变换，考查对称中心，三次函数是否有对称中心，如果有对称中心，又该怎么求？课堂探究的一个过程：三次函数f（x）=ax3的图像关于原点（0，0）对称.

推论1：三次函数f（x）=ax3+cx的图像关于原点（0，0）对称.

推论2：三次函数f（x）=a（x-m）3+c（x-m）的图像关于点（m，0）对称.

推论3：三次函数f（x）=a（x-m）3+c（x-m）+n的图像关于点（m，n）对称，即关于点（m，f（m））对称.

如果三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d能写成f（x）=a（xm）3+p（x-m）+n的形式，由推论3就能得到三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是中心对称图形，其对称中心是（m，n），即关于点（m，f（m））对称.

下面用待定系数法解决这个问题.

f（x）=a（x-m）3+c（x-m）+n=ax3-3amx2+（3am2+p）xam3+n-pm，

令ax3+bx2+cx+d=ax3-3amx2+（3am2+p）x-am3+n-pm.

所以三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图像关于点对称，观察三次函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，其对称轴恰好是，即对称中心的横坐标.其实，对于可导函数，若y=f（x）的图像关于点A（m，n）对称，则y=f′（x）的图像关于直线x=m对称.

答案：f（′x）=x2-2x+2，其对称轴恰好是x=1，所以函数（fx）=x3-x2+2x-1的对称中心是

二、立足纠错复习

高三复习中，总有些知识点是很多学生容易出现错误的，犯错误的原因有些是学生对数学知识的理解有偏差，认识片面，有些是教师对教学的难点把握不准，重视不够.纠错是通过学生的切身体会，认识错误，总结经验使知识重组再建，实现能力的提高，思维的拓展.同时也让教师反思教学、优化教学.

案例（二）坐标系与参数方程

例2 （2015年全国卷Ⅱ·理·文22）在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ.

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.

错解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ.

错解剖析：在直角坐标系中，两曲线的交点的坐标就是两曲线方程的公共解，然而在极坐标系中，求两曲线交点的问题却要复杂得多.如果ρ≥0，0≤θ＜2π，除极点O（0，θ）外，平面上任意一点P与其坐标（ρ，θ）之间成一一对应.如果ρ∈R，θ∈R，平面上任意一点P与其坐标（ρ，θ）之间不是一一对应，极点的坐标有无穷多个（0，θ），θ可以为任意实数.非极点的坐标也有无穷多个，若（ρ，θ）是一个点P的坐标，则（（-1）kρ，θ+kπ）也是点P的坐标.在极坐标系中，对于以方程f（ρ，θ）=0所表示的曲线上的一点，其所有极坐标有时并不都满足此方程，而可能只有一部分极坐标满足此方程.反之，对于一点P，它的某个极坐标（ρ0，θ0），如果不满足方程f（ρ，θ）=0，还不足以说明P点不在以方程f（ρ，θ）=0所表示的曲线上，只有它的所有极坐标（（-1）kρ，θ+kπ）都不满足方程f（ρ，θ）=0时，才能说明P点不在以方程f（ρ，θ）=0所表示的曲线上.例如，如图1，圆ρ=3与直线θ=的交点，圆与直线交点的极坐标

图1

在极坐标系中，方程f（（-1）kρ，θ+kπ）=0与方程f（ρ，θ）=0所表示的曲线完全一样.那么在极坐标系中，如何求两曲线C1：f（ρ，θ）=0与C2：g（ρ，θ）=0交点呢？首先令ρ=0，若一元方程f（0，θ）=0与g（0，θ）=0同时有解（不一定相同），则极点就是两曲线的一个交点，否则，极点不是它们的交点，再由（k为整数）或（k为整数）进行判定交点.

解法1：（1）曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ，令ρ=0，显然两方程均有解，极点是它们的一个交点.

所以C2与C3的交点的极坐标为（0，0）和

故C2与C3的交点的直角坐标为（0，0）和

解法2：（1）曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0，曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0，联立方程

所以C2与C3的交点的直角坐标为（0，0）和

练习：求两圆ρ=sinθ与ρ=cosθ的交点的极坐标.

图2