基于“多维互动对话”的高中数学课堂活动实践*——以“导数的概念”为例

☉江苏省太仓高级中学 陆 丽

根据新课改的要求，教师要激发学生的积极性，与他们展开课堂互动，引导其主动进行学习.在“多维互动对话”环境中，教师发展学生的数学思维，激发他们的创造精神，回归高中数学教育的本质，这也符合新课程的改革精神.下面，笔者就以“导数的概念”这节课为例展开高中数学“多维互动对话”教学实践.

一、情境创设，师生交流

师：我们在上节课中学习高台跳水等实例，掌握了平均变化率的相关概念，大家也计算了高台跳水运动员在内的平均速度，该速度为0，同学们想一想，运动员在这段时间内是否处于静止状态？

生：运动员并非处于静止状态.

师：显然，运动员的运动状态不是静止状态，用平均速度来描述运动员的运动状态具有一定的局限性，它只能粗略地描述运动员的运动状态，要想精确描述每个时刻的运动状态，我们要用到瞬时速度.如果要求运动员在t=2s时的瞬时速度，大家有没有好的想法？

（学生进行深入思考后，小组生生之间展开探讨）

学生展开深入思考，但却找不到好办法来求取瞬时速度.

看到这种情况，笔者为学生播放了物理中测瞬时速度的视频，问道：“大家思考一下，仪器测量瞬时速度的原理是什么？”

根据学过的知识，学生回答仪器是测量在Δt时间内滑过的距离Δs，运用计算得出答案.

师：这里测出的速度是瞬时速度吗？

生：不是，是某个时间间隔内的平均速度.

师：我们很难测量真正的瞬时速度，如果测量千分之一、万分之一秒，在更短时间间隔内如何使平均速度更加接近于瞬时速度？

生：平均时间间隔越小，越接近于瞬时速度.

师：正确.那么，我们要想测量t=2s时的瞬时速度，就要考察t=2s前后的速度，在这里，我们取任意一个时刻2+Δt，那么平均速度计算公式为.那么，我们看下运动员在［2+Δt，2］内的平均速度，在表1中显示.

表1

师：同学们以小组为单位进行探究，能否发现其中的规律？

（学生小组进行计算研究，生生之间共同讨论）

师：再看运动员在［2，2+Δt］内的平均速度，在表2中显示.

表2

*项目基金：本文系江苏省“十三·五”规划课题《“多维互动对话”环境下高中数学课堂活动组织策略研究》的阶段性研究成果（课题编号：C-c/2016/02/83）、江苏省“十二·五”规划课题《“多维对话”环境下高中数学课堂学习共同体构建研究（课题编号：C-c/2013/02/003）》的阶段性研究成果之一.

［2，2.0 0 0 1］ -0.0 0 1 -1 3.1 0 0 4 9［2，2.0 0 0 0 1］ -0.0 0 0 1 -1 3.1 0 0 0 4 9［2，2.0 0 0 0 0 1］ -0.0 0 0 0 1 -1 3.1 0 0 0 0 4 9［2，2.0 0 0 0 0 0 1］ -0.0 0 0 0 0 1 -1 3.1 0 0 0 0 0 4 9［2，2.0 0 0 0 0 0 0 1］ -0.0 0 0 0 0 0 1 -1 3.1 0 0 0 0 0 0 4 9

同学们重复表格1的运算，发现同样的规律.

师：大家对比下这两个表格，能否找到其中的规律？（引导学生进行类比计算）

学生经过对比发现当Δt趋近于0时，不论在2的左边还是右边，平均速度趋近于-13.1.

师：大家探究了t=2s时的过程，接下来请分别计算下t=2.5s，t=3s这两个时刻附近的平均速度.

学生进行分组合作、计算讨论，在其中感受逼近思想的含义.

教学体会：在以往学习函数零点过程中，我们用“二分法”来逼近函数零点，在本次课中，师生运用平均速度逼近瞬时速度，这也体现了高中数学中无限逼近的思想方法.

二、探究新知，形成概念

在探究完上述知识后，笔者引导学生在“多维互动对话”活动中展开高效率、高质量教学.

师：通过上述分析，我们知道结论适用于高台跳水运动员，那么它还适用于其他运动吗？我们不妨将物体的运动变化量抽象成函数y=（fx），上述可以转化为则是上节课我们学到的平均变化率，表达函数在某个区间上的趋势.请大家求出y=x，y=x2，y=在0到1上的平均变化率.

师：请大家看一下这三个函数在［0，1］上的图像，如图1所示.根据图像，我们可以发现这三个函数在0到1上的变化趋势不同，要想知道某个物体在某时刻的运动状态，我们只能通过瞬时速度进行求解.那么如何来精确描述函数变化呢？

生：瞬时变化率.缩短区间Δx来求取函数在某点的瞬时变化率.

图1

师：由平均速度过渡到瞬时速度，大家能够理解瞬时变化率.下面，我们来看下，当Δx缩短时，平均变化率如何变化.已知函数f（x）=x2，分别计算f（x）在区间上的平均变化率.

表3

同学们经过计算发现两个区间端点接近时，即Δx趋近于0时，平均变化率逼近于2.通过问题遇到认知冲突，找到解决问题的办法，在自主探究中来获得新知识.

紧接着，笔者运用几何画板进行演示，如图2所示.

图2

师：我们将2记为f（x）=x2在x=1处的瞬间变化率，即.经过学习，我们掌握了从平均变化率到瞬时变化率过渡，得到了函数f（x）=x2在x=1处的瞬间变化率，那么，对于任意函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率该怎样表示？

（学生总结归纳，体悟数学思想）

学生总结归纳，由具体实际问题抽象得到数学问题，在潜移默化中体会特殊到一般的数学思想.

师：同学们做的非常棒，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是.我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记为y=f′（x0）或y′|x=x0.那么瞬时变化率和导数就是同一概念的两个不同名称.

教学体会：学生掌握导数的相关概念，通过知识迁移找出一般函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率.

三、概括提升，理解内涵

在掌握导数相关概念的基础上，笔者引导学生对内容进行概括提升，问道：“f（x0），f′（x0），y′|x=x0分别表示什么意思？”引导他们找到三者之间存在的联系.

生：f（x0）表示函数f（x）在x=x0处的函数值；f′（x0），y′|x=x0表示函数f（x）在x=x0处的导数.

师：回答正确，大家已经掌握导数的概念，我们来练习，请大家计算下第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说出它们的意义.?

教学体会：在熟悉定义的基础上，学生通过练习进一步巩固了导数的计算方法，加强了概念的理解.

四、梳理知识，提高训练

在带领学生回忆本节课知识后，笔者问道：“①我们为何要研究平均变化率和导数？②如何看待导数的形成过程？从中你体会感悟到怎样的思想方法？③求导的依据是什么？如何来进行求导？”学生整理、总结本节课所学习的核心概念、基本技能，概况所蕴含的数学思想.紧接着，笔者要求学生完成以下两道试题：“①求函数f（x）=-x2在x=-1处的导数；②结合教材来思考，回忆本节课所讲重点知识，思考导数的几何意义.”

在整节课中，笔者引导学生在课堂“多维互动”中从生活实例到具体函数，通过小组合作、学生思考、体验交流等形式，借助类比的思想方法，从平均变化率到瞬时速度，再由平均变化率逼近瞬时速度变化率，最终推导得到某一点函数的导数.