“真、善、美”的数学探究教学实例研究与思考

☉江苏省溧水高级中学 洪 亮

教师站在“育人”的高度落实具备“真、善、美”的探究教学能令学生在真切的体验与感受、教师的真情与启发中获得更多的领悟，使学生在充分感受知识形成与数学之美的过程中展现出思维的灵活与智慧.

一、问题提出

根据每一个考点配以大量讲题与解题训练是目前很多高三数学教师在复习教学中采用的惯常手段，“讲、练、测”的教学模式也因此形成，这一简单而枯燥的教学模式往往会给学生与教师带来压抑与疲劳感，学生思维因此被“模式化”和“标准化”并在学习中失去了应有的灵活与创新，学生对数学学习产生畏惧、烦躁的心理情绪也就不难理解了.

只限于接受、记忆、模仿与练习的数学学习方式已经不能顺应高中数学课程标准所提出的要求，新课程明确要求教师应积极倡导学生进行自主探究学习并使学生逐步提升探索、实践与合作交流的能力，要求教师力争将学生培养成能够为社会肩负重担的人才.

笔者以为，教师如果能够站在“育人”的高度进行具备“真、善、美”的探究教学，一改唯高考论的落后观点，学生的数学学习必然能够呈现出令人欣喜的局面.

二、案例呈现

在某节复习课中，笔者指出函数y=lnx和y=ex互为反函数，其图像关于直线y=x对称，x=0和y=0分别为它们的渐近线时，有学生提问：“直线y=x是否为它们的渐近线呢？”笔者作出了这样的回复：“问得很好，大家在课后研究一下是否能有合理的解释，我们在下一课对这一问题进行具体的讨论.”笔者在课后对学生的这一问题进行了认真的思考并发现，这个问题对于学生来说，其意义不小，以下是后续课堂活动讨论的实况.

1.直奔主题，探究方法

问题1：如图1，直线y=x为y=lnx的渐近线吗？

图1

师：谁能给出其合理解释？

生1：由研究双曲线的渐近线的方法可得，在x∈（0，+∞）上作任意一条与x轴垂直的直线，分别与y=x、y=lnx相交于点M、N，则|MN|=|x-lnx|.

研究|MN|的长度变化，令（fx）=x-lnx，只需研究（fx）的单调性.f′（x）=1-，当x∈（0，1）时，f（′x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f（′x）＞0.所以（fx）在（0，1）上递减，在（0，+∞）上递增，所以（fx）min=（f1）=1，所以|MN|≥1，直线y=x不是y=lnx的渐近线.

生2：我是这样想的，根据图1，设直线MN与x轴相交于点A，只需研究的值.如果该比值随着自变量的增大而越发接近1但小于1，就是渐近线，因此，只要对的单调性进行研究就可以了.

生3：我有一法.

图2

（全体学生都不禁直呼太聪明了）

师：方法1是运用类比思想进行解释的，除此以外，上述三位同学的解释都用到了数形结合这一重要的思想，思路也都很清晰，值得大家学习.

2.引申思考，扩大战果

问题2：直线y=x是y=ex图像的渐近线吗？

生4：因y=ex和y=lnx互为反函数且都关于直线y=x对称，根据上述讨论可知，直线y=x不是y=ex图像的渐近线.

问题3：直线y=ax+b会是y=lnx的渐近线吗？

生5：设直线斜率是a，a＞0是明显的，类比问题1中的方法3可知，直线y=ax+b不会是y=lnx的渐近线.

（1）如果将上式中的“x”换成“n”，可以得到哪些不等式呢？

（2）比较20182019和20192018大小.

师：请大家思考探究.

生6：根据其单调性，可在定义域内取相邻的两个整数有g（n）＞g（n+1），即

进一步变形可得nn+1＞（n+1）n.

生8：两边取倒数可得

师：如果取两个不相邻的正整数且e＜m＜n，又可得到什么结论呢？

师：太棒了，大家居然能从简单的结论上变出这么多不等式，大家继续你们的思考.

生10：直接套上述公式，当e＜m＜n时，mn＞nm，因此可知20182019＞20192018.

生11：该公式如果记不住怎么办呢？

生12：倒着想，分别对20182019和20192018取自然对数，可得2019ln2018和2018ln2019，它们同时除以2018×2019可得，然后只要研究函数的单调性即可.

（全体学生惊叹并鼓起掌来）

师：这位同学正是运用了从特殊到一般的数学思想方法才获得了令大家惊叹的解法.

3.归纳总结（略）

4.课后变式强化（略）

三、几点思考

1.体现数学探究教学的“善”

（1）教师以情动人、以情育人并以朋友的身份和学生交流往往能够令学生放下思想包袱，尽情敞开心扉并表达出自己的个性化想法.

（2）预设的问题应与学生的知识与思维水平相吻合.教师在设计探究问题时应做到“知己知彼”并将问题设计成层层铺垫的导向性问题串，使学生能够在适度的动机中展开分步探索，令各层面学生在春风化雨般的真情关爱中都能获得思考与讨论的机会.

2.体现数学探究教学的“真”

（1）真自主与真合作.学生在真切的体验与感悟中才能真正获得能力提升，因此，教师应保障学生思考与探索的机会与时间并将最原始、最火热的思维过程体现出来.

（2）问题设计求真.教师在设计问题时应考虑问题的解法是否具有多样性，问题是否能反映学生思维的多层次性.本文案例中的前三个问题对于锻炼学生全面且多角度研究问题的能力是极有价值的，问题1中的三种解释正是不同视角下所产生的结果，学生思维的灵活和机智也在这三种解释中得到了具体的体现.问题4中得到的不等式则是全体学生共同参与、合作所产生的智慧结晶.不仅如此，问题4还将“特殊与一般”的数学思想方法进行了很好的渗透.

3.挖掘数学探究教学的“美”

数学包含了统一、和谐、简洁、对称、逻辑、严谨、奇异等多个方面的“美”，以美启真往往能够更好地调动学生的学习热情与参与度，学生感知、欣赏、应用、创造美的过程不仅是对其情操的陶冶，更是对其学习兴趣与思维能力的锻炼与促进.比如，本文案例中问题1的解决就将数形结合的和谐统一美、解题中的类比与简洁美体现得尤其明显.问题4中所生成的众多优美不等式则让学生在结果生成的过程中很好地赏析了一回对称美.问题4的解决又是数学逻辑与应用美的生动体现.从教学效果看，学生在感受数学之美的过程中也对所学内容领悟得更加透彻.H