分析题干思变换，构造数列求通项

☉江苏省石庄高级中学 周亚军

通项公式是数列的本质，而递推数列的通项公式则是数列的灵魂.求由递推关系所确定的数列的通项，通常可通过递推关系的一系列恒等变换，构造出一个辅助数列，化归为等差数列或等比数列，然后求出这个辅助数列的通项，进而求得所要求数列的通项.对于不同的递推公式，可以采取不同的方法构造不同的辅助数列.下面就谈谈常见的构造新数列的方法，希望对读者有所帮助.

一、分析题目特征，探求系数辅助求通项

用待定系数法求通项的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列.其变换的基本形式如下：

（1）an+2=Aan+1+Ban（A，B为常数，下同）型，可化为an+2+λan+1=（A+λ）·（an+1+λan）的形式；

（2）an+1=Aan+B（A，B为常数）型，可化为an+1+λ=A（an+λ）的形式；

（3）an+1=Aan+B·Cn（A，B，C为常数）型，可化为an+1+λCn+1=A（an+λCn）的形式；

（4）an+1=Aan+Bn+C（A，B，C为常数）型，可化为an+1+λ1n+λ2=A［an+λ1（n-1）+λ2］的形式.

例1 已知数列{an}中求an的表达式.

分析：根据题目特征考虑用待定系数法来求解，可设an+2-αan+1=β（an+1-αan），就是an+2=（α+β）an+1-αβan，则可从解得α，β，从而构造出一个公比为β的等比数列{an+1-αan}.当有两组α，β值时，只需要取一组求解即可.

解：设an+2-αan+1=β（an+1-αan），则α+β=得

.分两种情况求an.

例2 已知数列{an}满足an+1=2an+3·5n，a1=6，求数列{an}的通项公式.

解析：设an+1+x·5n+1=2（an+x·5n）， ①

将an+1=2an+3·5n代入①式，得2an+3·5n+x·5n+1=2an+2x·5n，等式两边消去2an，得3·5n+x·5n+1=2x·5n，两边除以5n，得3+x·5=2x，则x=-1，代入①式，得an+1-5n+1=2（an-5n）.②

由a1-51=6-5=1≠0及②式，得an-5n≠0，则2，则数列{an-5n}是以a1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=1·2n-1，故an=2n-1+5n.

评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3·5n转化为an+1-5n+1=2（an-5n），从而可知数列{an-5n}是等比数列，进而求出数列{an-5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式.

二、构造倒数式辅助求通项

例3 已知数列{an}中，（n≥2），求数列{an}的通项公式an.

分析：通过观察发现递推公式是分式型的，可以考虑在两边取倒数进行求解比较方便.

三、构造对数式辅助求通项

对形如an+1=panm（p为非零常数，m∈N*且m＞1）的递推数列，可利用对数的运算法则，将积、商、幂的形式转化成和、差、倍的形式，从而构造出新的等差或等比数列，再利用等差或等比数列的定义去求解.

例3 设正项数列{an}中，a1=1，当n≥2时，有an=2an-12，求数列{an}的通项公式an.

分析：观察题目结构特点，可考虑利用两边取对数，将高阶递推公式变为一阶递推式，然后再进行求解.

解：两边取对数得log2an=1+2log2an-1，

即log2an+1=2（log2an-1+1）.

设bn=log2an+1，则bn=2bn-1，

所以{bn}是以2为公比的等比数列，b1=log21+1=1.

所以bn=1×2n-1=2n-1，所以log2an+1=2n-1，即log2an=2n-1-1，所以an=22n-1-1.

求通项公式是数列学习中的一个难点，渗透了多种数学思想方法，很好地体现了新课程标准理念.在求解的过程中，往往显得方法多、灵活度大、技巧性强，因此是培养同学们思维深刻性的极好范例，有必要好好去领悟.W