挖掘试题价值，提升复习水平——基于试题研究的高三复习策略谈

☉江苏省海安高级中学 汤连峰

著名数学家乔治·波利亚说过：“掌握数学就意味着善于解题.”我们知道，数学解题是贯穿高三复习中的一条主线，在高中复习中占有非常大的比例；同时，检测高三复习的成果也是通过数学解题来实现.如何提高学生的解题能力一直是高三复习中的一个重要课题.作为教师，每天都和不同的试题打交道，试题可谓是师生手头最丰富的备考资源，如何用好手头试题，充分挖掘试题的利用价值，是全面提升备考复习水平的关键所在.

一、一题多思，在联系中加深概念理解

高三复习是对数学基础知识和基本技能的复习，掌握基础知识是复习的起点，没有知识就谈不上能力，更谈不上创新，“无知无能”.要落实好数学中基本概念、性质、定理等基础知识的复习，做到充分理解与掌握，一清二楚，不存在盲点，应用准确.要求复习时形成知识体系，知识间融会贯通了，理解才会更深入和透彻.具体表现为审题时能充分理解题目内涵，一题多思，准确切入.

例1 （2018年江苏卷13）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为______.

分析：试题是以三角形为载体、解三角形为背景的代数式的最值问题.解三角形是融合“数”“形”于一体，是代数、平面几何、三角函数、平面向量、平面解析几何等数学知识的交汇点，解决此类问题主要是根据三角形这一直观图形，并以此为切入点寻求已知与未知之间的内在联系，结合相关的数学知识与数学方法，探究解题的思路和方法.

思路1：（解三角形法思维）从三角形的面积切入，根据三角形的面积可a·BD·sin60°+c·BD·sin60°，整理可得ac=a+c，接下来再探求4a+c的最小值.

从余弦定理切入，根据余弦定理可得AD2=c2+1-2×c×1×cos60°=c2+1-c，CD2=a2+1-2×a×1×cos60°=a2+1-a，而根据角平分线定理可得，可得a2c2+c2-ac2=a2c2+a2-a2c，整理可得ac=a+c，接下来再探求4a+c的最小值.

思路2：（平面几何法思维）从张角定理切入，根据张角定理有，可得=1，整理可得ac=a+c，接下来再探求4a+c的最小值.

从相似比切入，过点D作DE∥BC交AB于点E，由于∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，可知∠EDB=∠DBC=∠ABD=60°，则△BDE为等边三角形，即EB=ED=BD=1，而由DE∥BC，可得=1，整理可得ac=a+c，接下来再探求4a+c的最小值.

思路3：（平面向量法思维）从平面向量的线性运算

点评：一题多思，可以思考问题中的相关概念，也可以思考问题中的切入角度或是其他的问题.一题多思，为解决问题提供思维角度，从不同思维角度切入，选取自己更熟悉、更熟练的方法与知识，结合题目来分析与求解，为正确解决提供必要的条件.

二、一题多解，在比较中优化解题方法

一题多解能有效构建知识网络、加强知识间的相互沟通、打破思维定势、培养思维的灵活性，培养学生从多角度、多途径、多知识寻求解决问题的方法，开拓解题思路，进而通过多种解法的对比与分析来选取最佳解法，总结解题规律，提升解题能力，增强思维品质，进而提升数学核心素养.

例2（2018年全国Ⅰ卷文11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a-b|=（ ）.

分析：三角函数的求值问题一直是高考中的常见题型，本题通过精妙的设计，把三角函数的定义、二倍角公式、半角公式、万能公式等三角函数的相关公式加以交汇，并结合其他相关知识加以融合与应用.该题在解法上具有多样性，解题切入口也不唯一，这样更能很好地考查学生思维的灵活性、多样性、拓展性.

解法1：（三角函数定义法1）根据三角函数定义，对照点A（1，a），可得，结合二倍角公式可得cos2α=cos2α-sin2α=对照点B（2，b），可得，结合二倍角公式可得cos2α=cos2α-sin2α=，解得b2=又由题可知ab＞0，不妨取，所以

解法6：（直线斜率公式+万能公式法2）根据三角函数定义有，根据万能公式可得，根据直线的斜率公式可得k=，所以

解法7：（直线斜率公式+万能公式法3）根据直线的斜率公式可得，根据万能公式可得，解得（b-a）2=，即|a-

点评：一道好的习题之所以能引起大家强烈的共鸣与反响，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含的丰富的数学思想和思维方法.而一些高考真题就能很好地达到此目的.在日常教学过程中，教师精心选择此类具有代表性的“一题多解”题目作为习题，通过一题多解等训练，可以极大地增强学生的数学核心素养.

三、一题多探，在研究中深化思维角度

针对高三复习中的试题，大部分是以往的高考题或模拟题，这些精选试题不少都凝结了命题专家的智慧和心血，有的背景深刻，有的内涵丰富，有的立意高远，有的创意新颖等.解题时不能停留在表面，浅尝辄止，要进一步探究问题深层次的内涵，培养深入思考问题的习惯，提升探究问题的意识，培育核心素养.

例3 （2018年上海卷12）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则最大值为______.

分析：充分体会题目条件，以及对应条件所代表的几何意义，通过不同角度的转化，以及不同知识点的渗透与交汇来达到综合与应用的目的，进而利用几何法与不等式的基本性质法，分别从“形”的角度与“数”的角度来进行解决与处理.

探究1：本题如何从题目条件切入？

探究2：本题有哪些基本的数学模型？

探究3：本题有哪些不同的解题方法？

探究4：本题中的一些条件或结论的改变可否进行变式？

探究5：本题能否推广到一般性的结论？

点评：通过一道多探，可以提升解题的深度与广度，掌握丰富的数学方法，学习朴素的数学原理，完成火热的数学思考，使我们领悟解题方法，领悟解题思想，领悟问题的深层次联系，不停留表面，不拘泥题海，使同学们的解题能力和思维品质向更深层次发展和升华.

四、一题多变，在辨析中夯实基础知识

一题多变是在有效思考、探究的基础上，不妨从一个熟悉的基本问题着手，不断改变题设中的某些关键条件或结论，将相近的问题串起来，给学生形成强烈的认知冲突，强化学生学习基础，提升学习效率，培养学生细心谨慎的良好学习习惯，培养创新意识与能力都大有帮助.

例4（2018年全国Ⅱ卷文10）若f（x）=cosx-sinx在［0，a］上是减函数，则a的最大值是（ ）.

分析：结合三角恒等变换转化为相应的三角函数问题，结合三角函数的图像与性质，通过三角函数单调性来确定参数的取值范围.也可以借助导数法或选项排除法来处理此题.而通过该题深入分析，拓展思维，改变条件，可以得到意想不到的效果.

变式1：若f（x）=sinx-cosx在［0，a］上是增函数，则a的最大值是（ ）.

（答案：C）

变式2：（2018年全国Ⅱ卷理10）若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］上是减函数，则a的最大值是（ ）.

（答案：A）

变式3：若f（x）=sinx-cosx在［-a，a］上是增函数，则a的最大值是（ ）.

（答案：A）

点评：看似简单的一道三角函数问题，其实认真分析，仔细探究，可以从不同角度展开来解决，也可以通过不同方式加以拓展深入，得到变式，真正达到“认真解答一个题，拓广解决一类题，变式深化一片题，思维能力一起高”的目的.

乔治·波利亚对“善于解题”的进一步阐述：“善于解题不完全在于解题的多少，还在于解题前的分析、探索和解题后的反思.”“工欲善其事，必先利其器”，高三复习千头万绪，以试题为抓手，挖掘其潜在价值，促进科学有效备考，无疑是值得尝试、行之有效的一种方法.H