初中数学应用题中的行程问题探析

安冬冬

摘 要：行程问题的应用题是初中应用题中的一个重要内容，也是数学教学过程中的一个难点。很多学生在做这类题型时由于不理解和分析不到位，会出现很多错误导致扣分严重的现象。其实认真分析起来，行程问题的应用题做题是有方法的，根据具体的题型对这类应用题做具体探析。

关键词：行程应用题；初中数学；问题探析

初中数学有关行程的应用题所占分量比较大，既是重点也是难点。学生在数学课堂上能听懂老师所讲的内容，书本例题也能掌握，但是题型和所给条件一旦发生变化，学生就不知如何下手了。从课本中有关行程问题的数学题分析来看，此类题型无非就是涉及了距离、速度、时间这三个变量，基本的数量关系为：距离=速度×时间，变形后的式子为：速度=距离/时间，时间=距离/速度。掌握住这些基本的数量关系，是做有关行程类应用题的基础。

一、相遇问题与相距问题

相遇问题是相向而行，如果是直线运动，那么两者路程之和就等于两者之间的距离；如果是圆周之间的运动，若同时同地的相向而行，那么两者的路程之和就等于圆周的周长。如果是单纯的相遇问题或者是相距问题，那么这样的题是比较简单的，可以运用下面的等式关系：

相遇：甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程

相距：甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程-甲和乙之间的距离

例1.有甲乙两个站台，它们之间的距离为450千米，一辆慢车从甲站出发，每小时行驶65千米，有一辆快车从乙站出发，每小时行驶85千米，如果两辆车同时出发并且相向而行，那么多长时间后它们能够相遇？

分析：这道相遇问题比较具有典型性，由于两辆车从甲乙两站同时出发并且相向而行，那么甲乙两个站台之间的距离就与两辆车行驶的路程相等，所以可以得出等式关系：快车行驶的路程+慢车行驶的路程=两个站台之间的距离。

变式1：有甲乙两列火车，它们的长度分别为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行驶4米，两车相向而行从相遇到两车错开需要9秒钟，问两个火车的速度分别是多少？

分析：这道题也是相遇问题中的一道比较典型的题，分析可以发现，两辆火车之间的长度之和就等于两车之间的距离，所以可以得出等式关系：两辆火车的长度之和=甲车行驶的路程+乙车行驶的路程。

二、追及问题

追及问题是同向而行，如果是直线运动，两者之间的距离就等于两者行驶的路程之差；如果是圆周之间的运动，若同时同向同地出发，那么圆周的周长就等于两者行驶的路程之差。可利用下面的等式关系：

（1）甲、乙同地却不同时行驶的等式关系：甲行驶的路程=乙行驶的路程

（2）甲、乙不在同一地点出发的等式关系：被追及者+不同地点的路差=追及者

例2.小明和小红两个人相距100米，小明在前面每秒跑3米，小红在后面每秒跑5米，如果两个人同时出发，同向而行，那么几秒后小红能追上小明？

分析：小红要追上小明，首先就要比小明多跑100米，然而两个人跑步所用的时间是一样的，即同时不同地，所以可以得出等式关系：小红行驶的路程-100=小明行驶的路程。

变式1：小明和小红两名同学在操场上练习百米赛跑，小明每秒跑7米，小红每秒跑6米，如果小明让小红先跑1秒，那么，小明几秒钟可以追上小红？

分析：在這道题中，小明和小红出发的地点相同，所跑的路程也是相等的，但由于小明让小红先跑了1秒，所以就产生了一个路程差的问题，即小红1秒钟所跑的路程。所以这样分析下来，这道题就和前面的例2一样了。

三、环形跑道问题

环形跑道问题也是行程类应用题中的一个重要的题型，具体的等式关系可以分为以下几个方面：

（1）甲乙在同地反向行驶相遇，等式关系为：甲行驶的路程+乙行驶的路程=环形跑道一周的路程

（2）甲乙在同地同向行驶相遇（假设甲的行驶速度>乙的行驶速度），等式关系为：甲行驶的路程-乙行驶的路程=环形跑道一周的路程。

例3.甲、乙两个人在200米的环形跑道上练习跑步，乙的速度快于甲，当他们都从一个地方同时出发，每隔4分钟可以相遇一次，求甲乙两人的速度分别是多少？

分析：这道题用列方程的形式来做，是比较直接清楚的。由于甲乙两个人是在同时同地出发的，他们每隔4分钟相遇一次，那么环形跑道一周的路程就与甲行驶的路程减去乙行驶的路程相等。设甲的速度为x米/分，乙的速度为y米/分，那么可以直接列出方程组：0.5x+0.5y=200；4x-4y=200，解出未知数x和y即可。

四、水（空）中航行问题

关于水（空）中航行问题，主要涉及四个变量，即水速、静水船速、顺水船速、逆水船速（风速、顺风飞速、逆风飞速、无风飞速），它们之间的等式关系为：

顺水船速=静水船速+水速；逆水船速=静水船速-水速；顺水船速+逆水船速=静水船速×2；顺水船速-逆水船速=水速×2；顺风飞速=无风飞速+风速；逆风飞速=无风飞速-风速。

例4.一架飞机在两城之间飞行，如果顺风飞机需要5小时

30分钟到达，如果逆风飞机需要6个小时到达，已知风速为24千米/小时，求两城之间的距离是多少？

分析：这是一道比较典型的空中航行问题，通过分析我们可以发现用列方程的方法是很容易解决的。将飞机无风时的飞行速度设为每小时x千米，根据两城距离不变的原则，把飞机顺风和逆风不同的情况全都表示出来，问题就迎刃而解了。

行程问题的应用题是初中学生必须要掌握的知识点，它作为数学题中的一个难点，需要被教师重视起来，找出更好的方法引导学生们来解决。教师要在教学中结合生活的实例，将这些关于行程问题的应用题整理出来集中讲解，保证学生遇到这类问题都能够迎刃而解。

参考文献：

[1]李建英.关于初中数学应用题中行程问题的几种解法[J].保山师专学报，2000（4）：66-67.

[2]王允.初中数学应用题教学的研究[J].科学之友，2010（14）：154-155.

[3]张建锁.初中数学应用题教学方法新探[J].数学学习与研究，2011（22）.