高中数学习题设置原则浅析

☉江苏省南通市通州区金沙中学 秦炎梅

习题设置的实效性伴随着课堂教学改革的不断深入而越发得到凸显，教师在实际教学中应勇于改变就题论题的习题设置原则和题海战术的格局，将能够充分调动学生学习积极性的高效多元化习题模式构建起来并以此促进学生对知识点的有效掌握.总的说来，新课程改革理念引导下的习题设置应遵循以下原则，笔者结合具体问题对其进行说明.

一、归纳总结原则

教师应围绕知识对象的要素进行习题的设计并引导学生在若干有效习题的练习中总结规律或结论.

例如，椭圆焦点三角形一类的习题就可以进行如下设置：

（1）F1，F2为椭圆的焦点，则在椭圆C上满足PF1⊥PF2的点P有多少个？

学生顺利完成这一组习题只是习题设置的一个目标，更重要的是，教师在教学中应在学生练习的基础上引导其发现题中所隐含的规律或结论，焦点三角形习题的六种形式以及其中的条件与结论的互逆设置如图1所示.

图1

二、类比性原则

教师遵循类比行原则设计的习题能够更好地突出问题的本质并有效培养学生的创新能力，使学生在一定的抽象逻辑思维的基础上不断提高认识与解决问题的能力.

例如，教师在等比数列的教学之后可以设计以下类比性习题组：

（1）已知等差数列{an}的公差是d，则an=am+（n-m）d，类比以上性质，在等比数列{bn}中，如果公比是q，那么有______成立.

（2）在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，类比以上性质，在等比数列{bn}中，若m+n=p+q，则有______成立.

（3）等差数列{an}的公差是d，则数列为等差数列，其公差是类比以上性质，在等比数列{bn}中，若公比是q，则可得结论为______.

（4）在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N）成立，类比以上性质，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式______成立.

（5）若{an}是等差数列，且am=a，an=b（m≠n，m，n∈N+），则现已知数列{bn}（bn＞0，n∈N+）是等比数列，且bm=a，bn=b（m≠n，m、n∈N+），类比以上结论，能够得到怎样的命题呢？请证明之.

一组能够体现等差数列与等比数列内在联系的习题使学生在练习中更好地掌握了知识之间的横向联系，反思总结中的体会将学生的高一级运算能力进行提升，学生掌握其中所包含的公式、性质等也就变得更加顺理成章了.

三、建构性原则

教师在设计习题时应该能够看到各知识模块与专题各部分之间的联系并运用类比、联想、迁移等方式进行习题的设计，使学生能够在感受知识之间联系的同时进一步理解数学的本质并因此提升解题能力.比如，统计这一内容的学习我们可以引导学生先画出知识框图，然后再根据本章知识点，以及结构框图间的联系可以设计以下习题.

甲乙两位篮球运动员在某赛季中的得分表现如下：

甲：8，9，18，16，12，19，10，27，22，20，25，31，33，35，39，43，45，40，56，51.

乙：2，12，11，25，24，23，21，31，36，31，36，37，39，30，35，44，49，45，50，50.

分组 频数 频率［0，10）［10，20）［20，30）［30，40）［40，50）［50，60）合计

（1）在上表中完整填写乙的得分频率；

（2）根据乙的得分频率画出频率分布直方图与折线分布图；

（3）求其中位数与平均数；

（4）画出茎叶图；

（5）利用茎叶图分别求出甲乙得分的中位数并分析哪一位运动员的发挥更加稳定，最后用方差进行验证；

（6）根据直方图能够求出乙得分小于32分的可能性吗？如果能，是百分之多少呢？

汇集统计全过程的练习将整个章节的知识点以及知识间的联系表现得淋漓尽致并有效激发了学生的认知冲突，这对于学生的知识完整构建来说是极有意义的.

四、分类推进原则

设计层次性、递进性的习题使学生更好地掌握数学内容的本质与思想方法，例如以下习题：

（1）将一根长4m的材料随机锯成两段，则截得的两段长度都不小于1.2m的概率是多少呢？

（2）在区间［0，1］中随机取两个数并求出这两个数之和小于的概率；

（3）甲、乙、丙三位好友约好在8点至9点之间到某饭店聚餐，如果三人都如约前往，则按照甲、乙、丙这一次序如约到达的概率是多少呢？

体现空间推移、“几何化”解题手段的习题能够帮助学生更好地把握题目的处理方法并获得触类旁通的效果.

五、变式性原则

很多重视运算技能训练的习题往往会令学生深陷机械、重复的题海训练中，教师应摒弃这样的习题设计并关注知识之间的联系进行习题设计，使题目的本质特征能够得到深入的挖掘和把握以促进学生对知识本质的把握以及认知性技能的提升，比如以下函数习题的设计：

（1）若函数y=f（x）对于定义域之内的任意x都有f（x+1）=f（-x+1），则f（x）的图像性质如何？

（2）若函数y=f（x）对于定义域之内的任意x都有f（x+1）=-f（-x+1），则f（x）的图像性质如何？

（3）若函数y=f（x）对于定义域之内的任意x都有f（x+1）=f（-x-1），则f（x）的图像性质如何？

（4）若函数y=f（x）对于定义域之内的任意x都有f（x+1）=-f（-x-1），则f（x）的图像性质如何？

（5）若函数y=f（x）对于定义域之内的任意x都有f（x+1）=f（x-1），则f（x）的图像性质如何？

（6）若函数y=f（x）对于定义域之内的任意x都有f（x+1）=-f（x-1），则f（x）的图像性质如何？

（7）若函数y=f（x）对于定义域之内的任意x都有f（a+x）=-f（b-x）+c，则f（x）的图像性质如何？

（8）若函数y=f（x）对于定义域之内的任意x都有f（x+则f（x）的性质怎样？

不断改变题设条件或链接题设条件而进行的习题组令学生的思维不断得到发散，学生也能在不断深化的问题探究中更加系统地把握函数知识的本质并不断提升自己的解题技能.

六、探究性原则

学生在数学学习中的探索能力是决定其数学学习好差的关键性因素，教师在设计习题时应能激发学生主动产生目标意识，使学生能够在准确攫取思维切入点的同时获得解题的思路与方向.

（1）空间四边形ABCD，若AB、AC、AD和平面BCD所成角相等，那么A点在平面BCD的射影是△BCD的（ ）.

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

（2）空间四边形ABCD，若AB、AC、AD到△BCD各顶点的距离都相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的（ ）.

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

（3）以上述两题为基础探究A点在平面BCD的射影分别是△BCD外心、内心、垂心的条件.

给出具体例子并引导学生在此基础上进行解题方法与步骤的探究，然后再进行一定的变化并引导学生进行主动探究对于学生解题能力的提升帮助甚大.

除此以外，教师在设置习题时还应把握好以下两点：①习题设置应将学习内容的本质体现出来并注重思想方法的引导；②应尽量设置学生“跳一跳够得着”的习题并引导学生在一定的探索中完成.总之，学生在习题的解决中只要能够用心观察、勤于反思，便能够更加完美地解决好具体的问题.