解析几何法巧解三角形的范围问题

2018-10-22广东省广州市番禺区实验中学潘神龙

中学数学杂志 2018年19期

关键词：外接圆直角坐标原点

☉广东省广州市番禺区实验中学潘神龙

三角形中长度、面积的最值（范围）问题除了考查正、余弦定理，还考查基本不等式、二次函数等知识，灵活性大、解题方法多、综合性强.本文采用解析几何的思想方法（数形结合的思想、坐标法等），为这些题目提供一种新的思路.

一、阿波罗尼斯圆

平面内到两个定点的距离之比为常数（不等于1）的点的轨迹是圆，即阿波罗尼斯圆.若已知三角形两边的倍数关系，则可尝试使用阿波罗尼斯圆.

例1（2016年柳州市4月份模拟·理12）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，sinA=则△ABC面积的最大值是（）.

解法1：由正弦定理知.由余弦定理知，cosC=所以当b=2时，S取到最大值

解法2：如图1，以AB的中点为原点O，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）.设C（x，y）（y≠0），据题意求得点C的轨迹方程为（x+2）2+易知x=-2时S取到最大值

二、外接圆

若已知三角形的一组对边和对角，则三角形的外接圆可知；与此有关的最值（范围）问题可尝试从外接圆的角度来处理.

例2（2018年深圳市第一次调研·理16）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，P是△ABC内一动点，∠BPC=120°，则AP的最小值为_____.

解法1：设∠PBC=θ，∠ACP+∠BCP=60°，∠PBC+∠BCP=60°，所以∠ACP=∠PBC=θ.在△PBC中，由正弦定理所以，PC=2sinθ.

在△CPA中，AP2=PC2+AC2-2PC·ACcosθ=14-所以0＜2θ＜120°.因为AP2的最小值为所以AP的最小值

解法2：如图3，以B为原点，直线BC为x轴，直线BA为y轴，建立平面直角坐标系，易知因为点P在△ABC内运动时，∠BPC=120°，所以点P在劣弧上运动，圆心角∠BOC=120°，圆心半径R=|BO|=当且仅当A，P，O三点共线时，AP最小，最小值为

三、椭圆与双曲线

与三角形两边之和、差有关的问题可以与椭圆、双曲线的定义相联系，把该三角形看成椭圆、双曲线的焦点三角形，再利用椭圆、双曲线的性质来处理.

例3（2013年高考新课标Ⅰ·理12）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，….若则（）.

A.{Sn}为递减数列

B.{Sn}为递增数列

C.{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D.{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

解法1：因为

解法2：如图4，以B1C1中点为原点，直线B1C1为x轴建立平面直角坐标系.同解法1，bn+cn=2a1，在△AnBnCn中，Bn，Cn为定点B1，C1，An（xn，yn）在以B1，C1为焦点，2a1为长轴长的椭圆上运动（除去左、右顶点）.由焦半径公式，bn-cn=（exn+a）-（a-exn）=2exn. 另一方面，bn+1-cn+1=所以是无穷递减等比数列.由是无穷递增等比数列.

例4（2016年咸阳市二模·理16）如图5，在△ABC中，O是外接圆的圆心，若则△ABC周长的最大值为_____.

解法1：设△ABC外接圆的半径为R.由得

解法2：如图6，同解法△ABC的外接圆是确定的，点A在圆上运动.以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系；再以B，C为焦点，b+c=2a椭为长轴长作椭圆由△ABC的面积当点A在y轴上时，b椭2最大，a椭2最大，即b+c最大.此时，△ABC是等边三角形，

例5（2018年深圳市二模·理16）已知A，B，C为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A，B相距600公里，且B在A的正东方向；A，C相距公里，且C在A的东偏北30°方向.现欲选址兴建该信号的发射站T，若在T站发射信号时，A站总比B站要迟200秒才能接收到信号，则C站比A站最多迟多少秒可接收到该信号（A，B，C，T站均可视为同一平面上的点）？

解：如图7，以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴，100公里为单位长度建立平面直角坐标系，易知A（-3，0），