不同的视角 不同的解法——一道最值题的解法赏析

☉江苏省天一中学 潘 干

在近几年的高考题与模拟题中，经常会碰到求解三角形面积的最值或取值范围问题.此类问题的前景往往活泼多样，而且解答难度较大，解决问题的思维方式多变，解决方法有时也多样.下面结合一道三角形面积的最值问题来加以实例剖析，结合多维角度切入，达到殊途同归，多点开花.

例题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则△ABC面积的最大值为______.

分析：本题给出三角形相关边与角的关系的两个关系式，根据射影定理与正弦定理得到c=1与a=2b，接下来解决问题的关键是找到三角形面积公式中所需要的一个角的正弦值或是对应的底边与高线之间的关系，可以借助余弦定理来转化，可以借助平面直角坐标系来处理，还可以借助海伦公式来巧妙解决，不同的切入点都要巧妙代入三角形的面积公式，综合利用二次函数的图像与性质、利用基本不等式、利用不等式的性质等来确定对应的最值即可，进而达到求解问题的目的.根据射影定理与正弦定理得到c=1与a=2b，通过余弦定理得到cosC的值，结合同角三角函数基本关系式求得sinC的关系式，代入三角形的面积公式，通过二次函数的图像与性质来确定三角形面积的最大值即可.

解法1：根据射影定理得c=acosB+bcosA.

根据射影定理与正弦定理得到c=1与a=2b，通过余弦定理得到cosA的值，结合同角三角函数基本关系式求得sinA的关系式，代入三角形的面积公式，通过二次函数的图像与性质来确定三角形面积的最大值即可.

解法2：根据射影定理得c=acosB+bcosA.

根据射影定理与正弦定理得到c=1与a=2b，通过构造图形，利用三角形边与角之间的关系得到cosB的值，结合同角三角函数基本关系式求得sinB的关系式，代入三角形的面积公式，通过二次函数的图像与性质来确定三角形面积的最大值即可.

解法3：根据射影定理得c=acosB+bcosA.

如图1，过A作AD⊥BC交BC于点D，可得|AD|=sinB，

根据射影定理与正弦定理得到c=1与a=2b，结合c=1为定值，要求三角形面积的最大值，只需求出对应的高的最大值即可，而通过建立平面直角坐标系，根据距离公式建立关系式，得到顶点C的轨迹方程为对应的圆的方程，那么点C取得离x轴距离最远的点，即高为对应的半径，则可得到三角形面积的最大值.

解法4：根据射影定理得c=acosB+bcosA.

以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则

由a=2b可得a2=4b2，即整理可得

根据射影定理与正弦定理得到c=1与a=2b，通过半周长的求解，结合海伦公式得到对应的三角形面积的关系式，利用含参数b的表达式的变形，利用基本不等式来确定三角形面积的最大值即可.

解法5：根据射影定理得c=acosB+bcosA.

总结：涉及三角形的面积的最值问题，解决问题的总体思维是通过代数运算，将几何模型代数化，利用正弦定理、余弦定理、三角相关公式等来转化与解题，利用二次函数的图像与性质、基本不等式、三角函数的图像与性质、不等式的基本性质等来确定最值.解决此类问题时还要注意的是，在利用二次函数的图像与性质、基本不等式、三角函数的图像与性质、不等式的基本性质等确定最值时，一定要考虑等号成立的条件.如果不等式多次放缩，那么等号成立的条件要同时成立，不要忽视.

通过从多个不同角度来处理，巧妙地把该题的底蕴充分挖掘出来，多角度出发，多方面求解，真正体现对数学知识的融会贯通，充分展现知识的交汇与综合，达到提升能力，拓展应用的目的.进而真正达到在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技能.正如我国著名数学家苏步青先生所言：“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然，然后知其所以然.”