例谈不同数学情境的素养探索

☉江苏省宜兴第一中学 范雄庚

数学情境是数学学习的一种外在辅助，以往对数学情境的认识都是利用其物理属性帮助学生认识数学概念的本质，可以说传统的情境使用更多地依赖感官认知.随着数学知识理解的深入，抽象情境也随之而来，本文以案例的形态跟读者一起探索数学情境教学的层次性，从浅显的生活情境层层深入，到抽象情境的研究，步步为营地思考情境对于数学教学的重要性.

一、生活情境与数学抽象

生活情境是数学教学中运用频率最高的一种情境，其将数学知识孕育到具体的生活案例之中，从中分析数学知识如何体现，这种情境教学往往与核心素养的数学抽象紧密结合，体现了数学之用.

案例1 双变量双函数中的恒成立与存在性问题.

师：如何理解以下两个结论？

①任意x1∈D，任意x2∈E，均有f（x1）＞g（x2）恒成立，则f（x）min＞g（x）max.

②任意x1∈D，存在x2∈E，使得f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）min＞g（x）min.

分析：单变量单函数的恒成立与存在性问题并不难理解，然而当递进到双变量与双函数问题时，学生会因其抽象性无所适从.

对结论①，我们加入生活化的情境便能迎刃而解：假若甲乙两人各拿着两副不同扑克牌，每人随意抽出一张来比较大小，然而无论怎么比较，甲手上的牌总是大于乙手上的牌，那意味着什么？

学生异口同声“甲手上的最小的牌比乙手上最大的牌都要大”！

师：很好！那我们把甲手上的牌抽象成f（x），乙手上的牌看成g（x），不就得到上述结论啦.现在我们能否利用同样的情境，来解释一下结论②？

生：甲乙两人手里各有两副不同的扑克牌，无论甲任选哪张牌，乙总能拿出一张牌比甲小，所以说明乙最小的牌比甲最小的牌还要小.

评析：现实情境数学抽象是指舍去具体情境中的事物的一般物理属性，从而得到抽象的数学模型或结论.而学生在学习“抽象的”数学知识时，通常需要降低抽象层次的思维过程.于是教师对抽象的、符号化的纯数学情境加上具体的、可感知的现实情境后，学生便能真正理解其背后的“数学化”本质.

二、物理情境与数学建模

物理情境是指利用物理知识与实际生活问题的联系创设的一种具体情境，其往往对于数学知识本质的反映具备很好的实验性作用.从物理情境出发，建立数学模型可以更好地培养学生的数学素养.

案例2物理实验“滑动变阻器控制灯泡明暗”与不等式本质.

师：同学们，我们利用桌上的滑动变阻器、灯泡、电源等物理工具，搭载一个能控制灯泡明暗的并联电路.（学生四人一小组，很快都完成了，如图1）

师：下面同学们缓慢拉动滑动变阻器的滑块，观察灯泡亮度与滑块位置的关系.

生1：变阻器滑块从上到下滑动，灯泡亮度由最亮到最暗，然后又到最亮.

师：为什么会有如此的变化？

生2：因为滑块从上到下滑动后，电阻从小到大又到小.电阻越小，灯泡越亮！

师：我们已经看出，滑块在变阻器两端，电阻最小，在中间电阻最大.请大家数学建模，从数学上解释这个物理现象.

师：真棒！同学们通过数学建模，找到了这个物理现象的数学本质，说明了数学的实用价值！

评析：数学建模是使用数学的概念、原理及思想方法来描述现实情境下的具有数学规律性的事物.因为客观世界的复杂性与多样性，大学数学建模比赛就要用到MATLAB等工具去仿真.而由于高中生掌握的数学知识与数学认知能力有限，无法解决复杂现实情境下的问题，教师可提供简单的、理想化的现实情境或实验，引导学生选择适当的方程或函数等建立简单的数学模型.学生在此过程中体会的真实建模经验，与伙伴间的团队合作经验或许才是最重要的.这不仅能体会到数学的优美与实用性，也为今后更复杂情境下的数学建模打下坚实基础.

三、信息技术情境与直观想象

随着数学知识抽象程度的提高，要解决更为抽象的问题，我们需要借助一些信息技术.在信息技术情境下解决以往更为抽象的数学问题，有助于培养学生的数学直观想象素养.

案例3空间几何图形翻折问题探讨.

师：△ABD绕BD所在直线旋转一周，点A的运动轨迹是什么？A在平面ABD上投影的轨迹又是什么？

教师通过几何画板演示其运动轨迹（如图2）.

生：A的运动轨迹是一个圆，它在平面ABD上的投影是垂直于BD的直径长的线段.

著名数学家和数学教育家M·克莱因认为：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上.”史宁中教授也曾说：“数学的结果是‘看’出来的，而不是‘证’出来的.”同时指出“直观不是‘教’出来的，而是自己‘悟’出来的，这就需要经验积累.这些见解，对我们培养学生的直观想象这一核心素养有重要的指导意义.我们需要选择典型的数学内容，创设探讨情境，精心设计问题，引导学生观察和思考，在丰富的数学活动经历中积累自己的“直观想象”经验，“悟”出门道.

四、两点反思

1.情境教学中现存的问题

数学情境教学作为常谈常新的话题，随着时代的发展，理论的创新，赋予了新的内涵.一线教师一直在教学过程中积极探索创设情境教学，然而现阶段仍有许多不足：为了设置情境而设置情境，缺乏目的性，呈现幼稚化和缺乏数学味道；过于形式化而游离于数学本质之外；过于关注生活化情境而忽视数学化情境；忽略情感的融入性而使情境创设呆板、僵化；情境创设的任务不明确，对核心素养的融入度与关注度不够.

教师必须克服“情境稚化”，抓住学生的最近发展区，设计恰如其分的数学情境，感悟数学的思想，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养.

2.情境应贯穿学习始终

学者李亦菲曾叙述“作为学习条件，情境是连接‘文本’与‘生活’的纽带；作为学习过程，情境是‘情感’与‘认知’的对象；而作为学习结果，情境是‘知识’与‘精神’的载体.”情境可以动态地贯穿于学习活动始终，能够带给学生心灵感染和内心情绪体验，具有“人情味”.

所以教师对情境化教学的理解不应只停留在“情境—问题”的新知引入的刻板形式上.正所谓“实践出真知”，如前文案例2便呈现了“情境—问题—结果—情境”的完整学习链.这亦完全契合PISA“实践中的数学素养模型”（如图3）.图4体现了从“情境”中来，到“情境”中去的情况.

其中第一个框架模型将数学问题分割成“现实世界”和“数学世界”左右两区域，而第二个框架模型体现“数学世界”内部的运转状况，从集合角度来看是一个包含从属关系.但无论是外在的延伸还是内部的转换，情境均动态地贯穿学习过程始终.

既然数学核心素养是学生在具有情境的数学活动中切实感悟、综合理解、反复强化逐渐形成的，那教师的教学设计需要着重思考具体教学情境与具体数学核心素养培养之间的相关性.让我们从数学情境出发，将教学生活、现实生活、理想生活融为一体，回归到数学教学本真上来，让学生在一种自然而又真切的环境中不知不觉地获取数学智慧，体会数学之优美！