高中数学教学体系中的方程思想

2018-10-22江苏省海门中学

中学数学杂志 2018年19期

☉江苏省海门中学张婕

在高中数学学习的过程中，学生学习的目的并不仅仅只是要掌握知识，更要学会使用知识.在数学学习过程中，我们要让学生逐步体会隐含在知识背后的数学方法和思想，这些内容是数学课堂的精髓与核心，是学生进行学习和研究的关键所在.而在众多数学思想中，方程思想对学生理解数学知识、发展数学思维有着非常重要的作用.

一、高中数学教学中方程思想的作用

所谓“方程思想”，就是将方程作为刻画世界的一种有效模型，即从相关量的数量关系着手，用等式将有关内容衔接起来，最终在方程研究中完成对问题的分析和解决.在高中数学学习的一系列活动中，方程思想有以下几个方面的作用.

1.形成解题思路，促成问题的解决

方程思想在高中数学的习题处理过程中有着非常广泛的应用，一些问题本身就是围绕方程展开，或是讨论方程实数根的存在情形，或是讨论方程参数的取值特点，或是直接对方程进行求解.除此之外，方程也是学生分析问题的主要途径，很多问题只有写出对应的方程，我们才能实现求解，有些问题也存在其他的处理方法或思路，但是方程的应用可以简化处理的过程，或是让整个解决过程更显灵活.

2.发展学生思维，提升逻辑推理能力

面对很多以生活中的真实场景为素材来设计的问题，学生在处理时往往对相关素材进行分析，从中发现并提炼出有关的数量关系，然后由此来建立数学模型，并以方程的形式展示出来，这样的处理很难发展学生的思维.面对错综复杂的情境，学生首先要对其中的诸多隐含条件进行分析，对很多原生态的问题要进行数学化的分析和处理，这是建立模型和方程最为基础的要求，同时这也是方程思想的核心，这一过程对学生思维的发展以及逻辑推理能力的提升大有帮助.

3.串联知识体系，完善学生的认知结构

高中数学的教学是非常松散的，因此在数学教学的过程中，我们要注意引导学生对数学知识进行系统化建构.当我们要对知识体系进行建构时，我们要明白：黏合这些知识的是数学方法和有关思想，方程思想在其中就占据着非常重要的地位，无论是最开始集合概念的学习，还是不等式的研究，抑或解析几何问题的处理，每一块内容都隐含着方程的身影，因此我们结合方程来指导学生知识体系的建构，并且能够促进学生认识的系统化.

4.激活学生兴趣，充实他们的解题方法

在解题过程中，我们通过方程来指导学生进行处理，可以让问题的表征和分析更加简洁，学生也将从中感受到数学研究的奇妙所在，这也将让学生感受到数学学习别样的乐趣.因此将方程思想引入数学教学也是学生兴趣激发的需要，学生当然也会由此而充实他们的解题方法，这样的教学显然有助于学生思路的拓展，有助于他们综合素质的提升.

二、高中数学教学中方程思想的优势体现

在高中数学问题的研究中，方程思想在以下两个方面有着非常显著的体现.

其一，在某些等量关系复杂的问题中，往往涉及很多的量.在这种情形下，我们要引导学生去把握相等关系，并结合问题的需要来设计相应的未知数，最终围绕着未知量和已知量来建构方程，或者是方程组，并且在方程或方程组的分析过程中形成认识，这样的处理比一般化的数学方法要好上很多.

其二，在一些代数、几何综合性的问题中，方程思想也有着其独特的优越性.我们以方程为桥梁，可以让学生能够更快地明晰解题思路，并最终完成问题的解决.

三、方程思想在数学学习中的应用实践

在高中阶段的数学学习过程中，方程思想有着非常广泛的应用，下面我们就从一些具体的实例着手，在应用中进一步对相关思想和方法进行感悟和体会.

1.函数问题处理过程中的方程思想

函数历来与方程有着非常紧密的关联性，有方程的求解、根的存在情形、参数的取值范围等，这些都可以采用函数的方法来处理，甚至有时还要画出图像，如此即可让问题的处理更加快捷而高效.反之，有的时候函数问题也需要用到方程，方程思想的引入拓展了问题分析和解决的思路，可以让学生破解困局，得到新的问题解决灵感.

例1已知R并且x3+sinx-2a=0，4y3+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值.

思路分析：如果按照一般化的思路，本题可以从三角函数求值的角度着手分析，即“角的拼凑”或是对两角和余弦公式进行变形处理，但是这样的分析过程将遇到相当大的困难，为此我们转换思路，以方程思想进行尝试与探索.

解析：由已知条件可得x与-2y是关于m的方程m3+sinm-2a=0的实数解.设（fm）=m3+sinm-2a，使用导数的有关理论可得该函数在上是单调递增的函数，因此当方程（fm）=0在上至多存在单一的实数解，因此可以知道x，-2y∈所以只能是x=-2y，于是有co（sx+2y）=1.

反思：本题对条件进行了抽象处理，得出了同一个方程的两个根，并结合函数的单调性可以推导出两个根相等，且整体上可以得到x+2y=0，进而顺利完成问题求解.这样的处理巧妙避开三角函数烦琐的变形，是方程思想提升问题解决效率的一个典型案例.

2.三角函数问题处理中的方程思想

提及三角函数，很多高中生都大皱眉头，原因无他，公式太过烦琐多变，而且很多公式大同小异，以致于学生很容易发生混淆.因此，在处理三角函数问题时，我们不能让学生将思维定格在公式应用上，我们应该鼓励学生将方程思想运用于其中，指导学生灵活运用相关的思想和方法来完成问题的分析和处理.

例2求sin18°的值.

解析：设18°=α，则2α=90°-3α，所以sin2α=cos3α，因此有2sinαcosα=cos（2α+α）=4cos3α-3cosα.因为cosα≠0，所以2sinα=4cos2α-3，即4sin2α+2sinα-1=0.解之可得sinα=结合上述范围最后可得到

反思：本题所涉及的角度并不是一个特殊角，所以如果希望通过两角和与两角差的公式进行求解，这是很难得到最后结果的.但是我们如果利用这个角度与90°之间的数量关系，并且构造出有关18°正弦值的一元二次方程，这样既可让学生在方程求解的过程中获得最后的结论，也可以收获化难为易的学习效果.

3.立体几何问题处理中的方程思想

方程是一种重要的数学工具，在很多问题处理过程中，我们通过方程可以沟通已知量与未知量之间的关系.这一点在立体几何的问题处理过程中也多有体现，但是有很多学生却出现着这样一些理解层面的偏差，他们认为，方程是代数，立体几何属于几何，这是两个泾渭分明的范畴，不能混为一谈，这种想法是片面而肤浅的，举例说明如下.

例3如图1所示的三棱锥P-ABC中，AB=1，AC=2，角平分线AD=1，各侧面积与底面所构成的二面角都等于60°，求解这个三棱锥的侧面积.