一个函数问题的对称性的发现与推广*

☉四川省内江师范学院数学与信息科学学院 胡生兵 赵思林

发现教学法是指在教师的启发下，使学生主动地探索数学知识和解决数学问题的一种教学方法.发现教学法应用到数学解题教学中，教师不是将问题的结论直接告诉给学生，而是向学生提供一系列问题，让学生积极思考，独立探索，自行发现这些问题的结论.解题思路的探索与发现是数学问题解决的关键，数学解题思路的发现常常需要敏锐的观察，广泛的联想，大胆的猜想，也需要尝试与预估、经验与顿悟、机遇与灵感［1］.发现教学法是培养创新型人才的重要方式，发现教学法的关键在于引导学生思考与发现.2016年高考数学全国卷Ⅱ理科第12题是一个适合发现教学的好问题，也是数学探究的好问题.下面对该题从对称性的发现、结论的证明、问题的推广等角度作了探究.

题目 （2016年全国卷Ⅱ理科第12题）已知函数（fx）（x∈R）满足（f-x）=2-（fx），若函数图像的交点为（x1，y）1，（x2，y）2，…，（xm，ym），则

A.0 B.m C.2m D.3m

解析：根据题意可知，（f-x）+（fx）=2，所以函数（fx）的图像关于点（0，1）成中心对称.

此题情境新颖、内涵深刻、富含思考价值和数学探究价值.解答本题的关键是发现函数方程f（-x）=2-f（x）的对称性.据统计，本题的得分率为0.44，大部分同学无法解决此题的原因在于不能发现原函数的对称性.本文拟从探索和发现函数方程f（-x）=2-f（x）的对称性出发，对这个函数方程的对称性的思路探索、结论发现、证明、推广等角度作一些探究.

一、对称性的发现

思路1.退中求进

在解决问题过程中，有时退一步，将原问题转化为我们熟悉的问题，再通过类比就很容易发现解题思路，找到问题的解决策略.而联想与猜想是引导我们如何转化的关键.无论是在教学中，还是在解决问题过程中，最近发展区都可以帮助我们学习知识和解决问题.

首先对原方程进行移项，得到f（x）+f（-x）=2，通过联想把“2”变为“0”从而得到f（x）+f（-x）=0，通过回顾发现这个方程是奇函数的表达式，奇函数的定义域关于原点对称，函数图像也关于原点对称.此时通过猜想，原来函数f（x）的图像可能也关于某个点对称.

评注：在此探究思路过程中，通过退一步将“2”变为“0”，从而得到学生熟悉的表达式，学生运用已有知识很容易想到奇函数的表达式，通过大胆的猜想与类比很快就可以想到原函数f（x）可能也关于点对称.

思路2.构造函数

根据原方程f（-x）=2-f（x），原方程两边同时减去1可以得到f（-x）-1=1-f（x）.

观察此方程发现，将-x代入等式的右边得1-f（-x），刚好与左边相差一个负号，所以令g（x）=1-f（x），则有g（x）=1-f（x）=f（-x）-1.

因为g（-x）=1-f（-x），所以g（-x）=-g（x），从而g（x）是奇函数，所以g（x）关于原点对称.

通过解题回顾知，函数g（x）是由函数f（x）作x轴的对称曲线再向上平移1个单位得到的，而函数g（x）的图像关于原点对称，平移不改变函数的对称性，所以可以得到函数f（x）的图像也关于某个点对称.

评注：此思路的发现关键在于观察，通过观察很容易发现等式两边的关系，从而快捷地想到构造函数.此思路发现过程中充分展示了观察联想的重要性，充分体现了数学结构美、对称美.

二、对称中心的发现

1.由思路1发现对称中心

因为函数f（x）是一个抽象函数，为了简化解题思路，所以将f（x）令成熟悉的具体函数.令f（x）=kx+b，因为f（x）+f（-x）=2，所以kx+b+（-kx）+b=2，即2b=2，故b=1.所以f（x）=kx+1（k∈R），该函数图像是一条经过定点（0，1）的直线.再作具体化处理，取k=1，得f1（x）=x+1，而直线是关于在直线上的任意一点对称，所以一个函数无法确定对称点.再取k=-1，得f2（x）=-x+1.f1（x），f2（x）都满足抽象函数f（x）的对称性，而f1（x）与f2（x）有且只有一个公共点（0，1），所以函数f（x）的图像关于点（0，1）对称.

评注：在此探索过程中运用了解决函数问题的一种常用方法——“特殊化”.在特殊化的过程中体现了化抽象为具体的思想.此过程中是将原函数特殊化为一次函数，其实也可以将原函数特殊化为三次函数、正弦函数等.具体能化为哪种特殊函数可以根据学生对知识点的熟悉程度来确定.

2.由思路2发现对称中心

根据函数g（x）=1-f（x），可以得到f（x）=1-g（x）.由f（x）=1-g（x）可知，g（x）先作关于x轴的对称曲线，再向上平移一个单位长度可以得到f（x）.因为函数g（x）的图像关于点（0，0）对称，所以函数f（x）的图像关于（0，1）对称.因为平移和对称变换不改变函数图像的对称性的，所以此过程也即是证明过程.

评注：此过程充分运用了函数的表达式和函数图像变换的性质.运用直观想象让解题思路变得简捷，计算过程简单，同时培养了学生的直观想象能力.

三、结论的证明

结论：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），则函数f（x）的图像关于点（0，1）对称.

证明：设点（m，n）在函数y=f（x）的图像上，则f（m）=n.

因为f（-x）=2-f（x），所以f（-m）=2-f（m），即2-m=f（-m），故点（-m，2-n）也在函数f（x）的图像上.

而点（m，n）与点（-m，2-n）恒关于点（0，1）对称，所以f（x）的图像关于点（0，1）对称.

四、问题的推广

推广是指对结论进行拓展、加强与深化.对结论的推广，有利于学生知识的拓展，开拓学生的思维视野，并能培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，还能培养学生自主探究学习的能力.

下面我们对对称点进行推广.

推广1：设函数（fx）的定义域为R，函数（fx）满足（fx）+（fb-x）=2，则函数（fx）的图像关于点， 1）对称.

推广2：设函数（fx）的定义域为R，函数（fx）满足（fx）+（fb-x）=0，则函数（fx）的图像关于点， 0）对称.

推广3：设函数（fx）的定义域为R，函数（fx）满足（fx）+（f-x）=m，则函数（fx）的图像关于点（0）对称.

推广4：设函数（fx）的定义域为R，函数（fx）满足（fx）+（fb-x）=m，则函数（fx）的图像关于点对称.

推广5：设函数（fx）的定义域为R，函数（fx）满足（fa+x）+（fb-x）=0，则函数（fx）的图像关于点对称.

推广6：设函数（fx）的定义域为R，函数（fx）满足（fa+x）+（fb-x）=m，则函数（fx）的图像关于点对称.

证明：设点（x0，y0）在函数（fx）的图像上，则有（fx）0=y0.

因为（fa+x）+（fb-x）=m，所以（fa+x0）+（fb-x0）=m.

从而（fb-x0）=m-（fa+x0），所以点（a+x0，（fa+x0））和点（b-x0，（fb-x0））都在函数（fx）的图像上.又点（a+x0，（fa+x0））和点（b-x0，（fb-x0））关于点对称，所以函数（fx）的图像关于点对称.

推广7：设函数（fx）的定义域为R，函数（fx）满足（fa+x）-（fb-x）=0，则函数（fx）的图像关于直线对称.

证明：设点（x1，y1）在函数（fx）的图像上，则（fx1）=y1.

因为（fa+x）-（fb-x）=0，所以（fa+x1）-（fb-x1）=0.

所以（fa+x1）=（fb-x1），而点（a+x1，（fa+x1））和点（bx1，（fb-x1））关于，所以函数（fx）的图像关于直线对称.

推广8：设函数（fx）的定义域为R，函数y=（fx）与函数y=-（f-x）关于点（0，0）中心对称.

推广9：设函数（fx）的定义域为R，函数y=（fx）与函数y=-（fm-x）关于点中心对称.

推广10：设a，b，c为常数，函数y=（fx）与函数y=g（x）的定义域为R，对∀x∈R，均有（fc+x）+g（a-x）=b，则函数y=f（x）与函数y=g（x）的图像关于点中心对称.

证明：设点P（c+x0，（fc+x0））是函数y=（fx）图像上的任意一点，则点P关于点的对称点为Q（a-x，

0b-（fc+x0）），且（fc+x0）+g（a-x0）=b，所以g（a-x0）=b-（fc+x0），故点Q（a-x0，b-（fc+x0））是函数图像上的一点，也即函数y=（fx）图像上任意一点关于点的对称点都在函数y=g（x）的图像上，所以函数y=（fx）与函数y=g（x）的图像关于点中心对称.

评注：前面几个推广是经常考到的，而最后三个有一定的难度，比较少用.函数在高考中占有较大比例，同时函数对称性是高考的热点，通过对这些推广的理解与记忆，能够深化学生对函数的理解，能够快捷、准确地解决高考中的函数对称问题.