分析题目特征，寻找填空题求解的切入点

☉江苏省海门市第一中学 戴继龙

填空题属于客观性试题，它的特点是短小精悍，考查的知识点集中，答案简短、明确、具体，需要独立思考解答.同时，填空题又不同于解答题，不需要写出解答过程，小题不用大做，其要求答案简单明了，准确无误，否则不得分.由于填空题处于这一特殊位置，这也从基础上把考生的成绩拉开了档次.下面探讨填空题的几个常见解法.

一、直接法

当题目的背景比较熟悉或题目难度较小时，可以直接利用相关的定理、定义或推论直接运算求得答案.

解题的关键是运算的准确性，以及公式的正用、逆用、变用、活用等.

例1已知变量），则函数的最小值为______.

解析：根据题给函数表达式，分母含有二倍角公式，分子含有常数1，可以考虑进行变换“1=sin2x+cos2x”，然后利用三角函数的同角关系式分子分母同时除以cos2x化简即可因为所以tanx＞0，根据基本不等式可得当且仅当时，取等号，所以

评注：利用直接法解填空题，关键是根据题目的结构特征，选择合适的转化方向，尽量减少变量的个数，降低次数，注意数学运算的准确性.

二、数形结合法

利用数形结合法探究问题的关键是分析题目特征，借助相应图形的直观性辅助解题.常见的数形结合解题的思路有三角函数的图像、函数的图像、直线与圆的位置关系、线性规划、韦恩图等.

例2设定义域为R的函数（fx）=则关于x的方程（fx）-2x=0有______个解.

分析：画出图像，通过图像分析、观察结果.

由图1知，（fx）的图像关于直线x=1对称.

图1

图2

求方程f（x）-2x=0的解的个数即为求函数f（x）与y=2x图像交点的个数.在图中作出y=2x的图像，如图2所示.故f（x）与y=2x图像有1个交点，方程f（x）-2x=0有1个解.

评注：本题关键是作出函数f（x）的图像，而f（x）是分段函数，所以要根据不同解析式画出各段函数的图像.然后将所求方程解的个数转化为求两个函数图像交点的个数，再利用图像分析可得所求结果.

三、构造法

有些题目条件特征比较明显，因此可以利用转化思想，合理构造函数、数列、图形等辅助解题，可以便捷得到解题思路和题目答案.

例3已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为______.

解析：由题设知，x∈［-3，1］，设则u≥0，v≥0，且u2+v2=4，其图像是圆u2+v2=4在第一象限的部分及（2，0）和（0，2）两点，y为直线y=u+v在v轴上的纵截距，显然当直线与圆弧相切是有最大值，如图3所示

图3

评注：注意到的和为定值4，应想到构造圆，再利用直线与圆的位置关系解决.

四、规律发现法

有些问题初始看计算比较简单，但是过程比较烦琐，或者计算的量比较大，需要我们从尽量少的运算过程中去发现其中规律，简化计算步骤，例如，函数中的周期性应用就能极大地简化问题的计算量.同时对于那些新定义型题，也可以通过观察题干，分析题目数据特征，发现规律，简化运算过程.

例4设定义在R上的函数f（x）满足f（x）·f（x+2）=12，若f（2）=2，则f（2018）=______.

分析：根据所给的关系式f（x）·f（x+2）=12和f（2）=2，归纳出正偶数的函数值的变化规律，据此规律求f（2018）的值.

所以f（2018）=f（2×1009）=2.

评注：推理是数学的基本思维过程，此类题目常涉及函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，要充分理解题中所给的信息，就能发现或归纳概括出解题的一般规律.

五、等价转化法

有些问题的背景比较陌生，理解比较抽象，可以通过某个角度转化为我们所熟悉的背景、容易理解、方便求解的问题来解决，转化的过程中要注意等价性.

例5已知函数（fx）=x2-cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①x1>x2；②x12>x22；③x1>|x2|.其中是（fx1）>（fx2）的充分条件的是______（将充分条件的序号都填上）.

分析：易知函数（fx）为偶函数，根据给出的条件应从函数单调性入手，再结合函数性质进行求解.

解：因为函数（fx）=x2-cosx为偶函数，（f0）=-1且在区间］为增函数，所以，直线x=0为函数（fx）的对称轴，离对称轴越远函数值越大，即“若且|x1|>|x2|，则f（x1）>f（x2）”.

所以②③是f（x1）>f（x2）的充分条件.

评注：已知命题的结论求解它的充分必要条件时，若命题的结论形式比较复杂，则可把命题的结论等价转化为比较简单的结论，这样就比较容易求解它的充分必要条件.

六、开放题的解法

填空题中的开放题有条件开放型、结论开放型、综合开放型，这几类问题的答案往往不唯一，解题时注意答案的正确选择.对于此类问题的求解，也要注意特殊解题方法的应用.

例6若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体（四个面都全等的四面体称为正四面体），则下面______（填序号）哪些是四面体体积的值.

分析：可以考虑所有符合题意的图形.由于三角形的两边之和大于第三边，因此组成四面体各面的三角形中，或者只有一边长为1，或者三边长为1.

解：分两种情况进行讨论：（1）如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共3种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边为2；三边全为2.因此，只有三边全为2一种情况是可能的.

（2）如果这些三角形中，不存在边长为1的正方形，则只有两种情况：四面体的6条棱中，只有一组对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱的长度为1，其余棱长全为2.

评注：对于具有多种结果的结论开放性试题，应抓住条件中影响结果的动态因素，通过讨论，全面考查问题的各个方面，也体现了发散思维的考查和基本知识的应用能力.

填空题是高考的必考题型，因其题干的特殊性，解题方法与选择题相比解题难度加大.填空题求解的一般思路是“直接求解法”，但是根据题型特点，也可以采用特殊的方法直接求出答案，例如，代入特殊点、特殊角等，还可以利用转化思想，将抽象的问题转化为我们所熟悉的问题解决.值得注意的是，在解答填空题时，最后的答案一定要书写要规范.