微积分思想在不等式证明中的应用

◎张立欣　丛　申

(塔里木大学信息工程学院，新疆　阿拉尔　843300)

一、中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：

二、单调性证明不等式

函数单调性的判定法：设函数f(x)在开区间I内可导，若f′(x)>0(f′(x)<0)，则f(x)在开区间I内单调递增(递减).

若f′(x)>0，则任取x1，x2∈I(x1

若f′(x)<0，则任取x1，x2∈I(x1f(x2).

三、极值证明不等式

要证明f(x)≥g(x)，只要证明函数F(x)=f(x)-g(x)的极小值大于0即可.

例3设a>ln2-1为任一常数，试证：当x>0时，x2-2ax+1

证明令f(x)=ex-x2+2ax-1，很明显f(0)=0，

且f′(x)=ex-2x+2a，f″(x)=ex-2，

令f″(x)=0，即x=ln2，则在(0，ln2)内f″(x)<0，在(ln2，+∞)内，f″(x)>0，minf′(x)=f′(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a=2(1-ln2+a)>0，

故f(x)单调递增，因此，f(x)>f(0)=0，

即ex-x2+2ax-1>0，即x2-2ax+1

四、利用函数的凹凸性证明不等式

函数凹凸性的判定法：设函数f(x)在区间I上有二阶导数，若f″(x)>0(f″(x)<0)，则f(x)在区间I内图形是凹的(凸的).

证设f(t)=tn，则f″(t)=n(n-1)tn-2>0(t>0)，

五、泰勒公式证明不等式

证f(x)具有二阶导数，由泰勒公式可知：

f(x+h)=f(x)+f′(x)h+f″(x)h2+ο(h2)，

f(x-h)=f(x)-f′(x)h+f″(x)h2+ο(h2).

两式相加可得f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f″(x)h2+ο(h2)，

故f″(x)h2+ο(h2)=f(x+h)+f(x-h)-2f(x)≥0.

令h→0，可得f″(x)≥0.

六、定积分证明不等式

总之，在不等式的证明过程中，结合不等式的特点，恰当运用中值定理、函数的单调性、极值理论、函数的凹凸性、泰勒公式、定积分的性质等，可以将不等式的证明简化，实践证明，这些方法容易被学生理解和接受.