泰勒公式与泰勒级数的异同和典型应用

鲍培文

(武警特种警察学院数理教研室,北京昌平 102211)

泰勒公式与泰勒级数的异同和典型应用

鲍培文

(武警特种警察学院数理教研室,北京昌平 102211)

以高等数学中泰勒公式、泰勒级数为基础,探究泰勒公式与泰勒级数的区别与联系,将一元函数的泰勒公式推广到多元函数的泰勒公式,展现它们的一些应用,使泰勒公式与泰勒级数的内容系统化,以便于学员学习1

泰勒公式; 麦克劳林公式; 泰勒级数; 幂级数

泰勒公式是高等数学中导数应用的内容之一,在理论研究和数值计算中具有广泛的应用,泰勒级数是函数项级数的特例,泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性,但是它们引入不同,因此还是有一定的差异性.由于泰勒公式是通过重复运用柯西中值定理得来的,过程比较复杂,因此学员在理解泰勒公式时对最后要加上一个需要附加说明的余项感到抽象,难以接受这么一个有着附加说明,不知道ξ是什么的余项.泰勒级数属于函数项级数中的幂级数,与泰勒公式在近似计算、极限运算、级数与广义积分的敛散性判断等方面有具体应用;但是学员总不会将题目和泰勒公式、泰勒级数的应用联系在一起.在没有理解泰勒公式、泰勒级数的前提下,写出常见函数的泰勒公式、泰勒级数对学员来说只是一种机械行为,没有任何意义.如何学好、用好泰勒公式和泰勒级数呢?本文努力探究泰勒公式与泰勒级数的区别与联系,将一元函数的泰勒公式推广到多元函数的泰勒公式,展现它们的广泛应用,以便于学员将高等数学中泰勒公式、泰勒级数的内容系统化,为后续内容的学习打下基础.

1 一元函数y=f(x)的泰勒公式与麦克劳林公式

1.1 一元函数y=f(x)的泰勒公式

当f(x)在含有x0的某个邻域(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则/x∈(a,b),有

称(1)式为f(x)按(x-x0)的幂(或在x0处)展开到n阶的泰勒公式,称(2)式为f(x)按(x-x0)的幂(或在x0处)展开的n阶泰勒多项式,称(3)式为泰勒公式的余项,也成为拉格朗日型余项.

1.2 一元函数y=f(x)的麦克劳林公式

2 一元函数y=f(x)的泰勒级数与y=f(x)展成(x-x0)的幂级数

2.1 泰勒级数

2.2 泰勒级数与泰勒公式的区别与联系

泰勒公式中含有有限多项,泰勒级数中含有无限多项,泰勒公式不是泰勒级数,泰勒级数也不是泰勒公式1

当f(x)的各阶导数都存在时,f(x)的泰勒级数在收敛情况下一定等于f(x);但不论f(x)的泰勒级数是否收敛,只要f(x)有n+1阶导数,就有泰勒公式成立1可见泰勒级数收敛时,与泰勒公式结果一致,都是f(x).

2.3 f(x)展成(x-x0)的幂级数

3 二元函数z=f(x,y)的泰勒公式

4 泰勒公式与泰勒级数的应用

4.1 泰勒公式与中值定理的关系

可见,当n=0时,y=f(x)的泰勒公式变为拉格朗日中值定理,z=f(x,y)的泰勒公式正是二元函数的中值定理1

4.2 利用泰勒公式、麦克劳林公式对函数进行估值和近似计算

泰勒公式与泰勒级数有一定的联系,如果函数可以展成泰勒级数,在收敛域内该泰勒级数与泰勒公式相等,以上泰勒公式的应用与泰勒级数的应用相通1泰勒公式与泰勒级数不仅在微分学中有重要作用,而且在积分学及线性代数的矩阵与行列式中也有一定的应用,这部分可以参看文献[3],[4].

[1]吴建成.高等数学[Z].北京:高等教育出版社,2005.

[2]吉米多维奇.数学分析题集[Z].北京:高等教育出版社,1984.

[3]张锐,杨海成.泰勒公式在不等式和行列式中的应用[J].数学教学研究,2009,(10).

[4]熊灿.讨论泰勒公式的综合应用[J].北京电力高等专科学校学报,2009,(11).

Abstract:Based on the Taylor formula and Taylor series,the paper concludes its difference and connection,spreads Taylor formula fromfunctions of one variable to multiple functions,gives some examples of application,formthe content of Taylor formula and Taylor series into a system so that it's easy to learn.

Key words:Taylor formula; Maclaurin formula; Taylor series; power series

The Taylor Formula and Taylor Series and its Application

BAO Pei-wen
(The Professor of Department of Science,Special Police College,Beijing 102211)

O151.2

A

1671-9743(2011)02-0090-04

2010-12-14

鲍培文(1968-),女,江西南昌人,武警特警学院教授,硕士,主要研究高等数学、应用数学、军事运筹学的教学及优化理论.