全面地求函数极限的方法和技巧

◎王　琳　徐健腾

(曲阜师范大学管理学院，山东　日照　276826)

极限概念是高等数学中最重要的概念之一，高等数学中几乎所有重要的概念，如，连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上.极限理论是整个微积分的基础理论，极限思想贯穿整个微积分学科.初入高校的学生，熟练掌握一些求函数极限的技巧，是非常必要的，对日后进一步学习会有很大的帮助.

以下较为详尽地给出了求函数极限的11种方法，其中不乏运用技巧求极限的例子.

一、运用函数极限的定义

定义是函数极限的基础，利用定义证明函数的极限是整个极限题目中的基础题型.

二、利用函数极限的四则运算法则

定理如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么

(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B；

(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B；

解这里分母的极限不为零，故

三、约去零因式

四、通分法

五、利用无穷小的性质

定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

六、利用无穷小的替换

七、利用两个重要极限

但我们经常用到的是它们的变形：

例7求下列函数极限：

八、利用函数的连续性

求函数极限除以上方法以外，还有如下方法：(1)利用函数极限存在准则；(2)利用微分中值定理；(3)利用定积分求和式极限；(4)利用收敛级数求极限.

数学知识广博深邃，在实际学习中很多题目是多种方法的综合运用来求解的，只有方法得当，才能快速、灵活、准确地解决问题.