初中数学反比例函数难点探究

龚宁

【摘要】函数是初中数学的重要内容之一，它是从现实世界中抽象出来的，是从定量关系的角度来描述事物变化规律的工具，函数知识渗透在初中数学的许多内容中，它与物理、化学等密切相关.同时，函数本身也是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法，可以加深对一些代数问题的理解.本文将就初中数学反比例函数难点进行深入的探究，以此来帮助学生认知反比例函数的规律及实际运用.

【关键词】初中数学；反比例函数；难点探究

随着这几年新课改理念的不断深入，对于反比例函数的考查越来越新颖.学生在考试中考得高分就必须要在课堂上将教授的反比例函数知识理解透彻.因为中学生虽然脱离了小学生的稚气，但是在思维上还不是很健全，也不如高中生努力和理解能力强.因此，有效创设良好的教学环境，全面引导学生正视反比例函数，并着重解析反比例函数中的难点，有助于学生养成良好的思维习惯，有助于优化学生的反比例函数解题能力，同时还能够降低学生对反比例函数的抵触和排斥情绪，全面提升反比例函数的整体教学质量.

一、初中数学反比例函数教学中存在的问题

反比例函数是初中数学教学中的重点内容，同时也是教学中的难点.学生在理解反比例函数的过程及运用反比例函数来求解的过程中，存在着较大的思维障碍，这在一定程度上影响着学生的学习效率，也制约着学生的学习思维.当前在反比例函数的教学过程中存在着显著的问题，直接影响着反比例函数教学水平的提升.

（一）性质把握不清，概念认知不科学

在初中数学反比例函数的教学过程中，学生应用反比例函数来解决实际问题，以及学生利用反比例函数的性质来搭设图像的过程中，必须对反比例函数的性质具有全面的认识.反比例函数是两条不相交的双曲线，两条双曲线在正值区域或者负值区域分布，但在反比例函数的实际教学过程中，教师往往依托于教材来进行全面灌输.部分教师为了追求教学进度，在学生尚未理解反比例函数的前提下，就开始新的课程.同时，还有一部分教师在教学实践中，没有引导学生进行反比函数图像的科学作法，这也使得不少学生缺乏对反比例函数图像的正确认知，仅仅认为反比例函数是两条不相交的曲线，且反比例函数的曲线与坐标轴不相交，两个分支点之间也不发生关联.

（二）训练重复性强，学生难点把握不足

反比例函数在初中数学内容中占据着关键的位置，同时也是整个函数教学中的难点.在反比例函数的教学实践中，教师应该引导学生正确把握反比例函数的性质，重点培养学生数形结合的思想和能力，以此来全面提升反比例函數的整体教学质量.但当前，在反比例函数的教学实践中，教师对于反比例函数题目的选择具有较大的雷同性，缺乏一些相关拓展的引用，重复性地进行简单反比例函数的练习，这不仅无法提升反比例函数的整体教学质量，同时也难以有效地引导学生巩固反比例函数的难点.当学生遇到难度较大的反比例函数时，往往无从下手，难以快速准确地切入，极大程度影响了学生的学习信心.

二、反比例函数的难点分析

在初中数学反比例函数难点分析的过程中，必须首先分析反比例函数的特性，这是反比例函数的独特属性，也是精准把握反比例函数难点的出发点.

（一）反比例函数与其他函数的共生性

反比例函数的本质仍是函数，因此，它与其他函数之间是存在较大的关联性的.在学习反比例函数的过程中，或者在解答反比例函数题目的过程中，学生脑海中都应该运用科学的空间思维能力，完整找到反比例函数与其他函数的共性.

例1 在一个平面直角坐标系中表达两种函数图像，反比例函数y=kx与一次函数y=kx+k，那么判断下列哪个图属于二者的大致图像.

在这一题型中，k的值是非常关键的，它关系着两种函数的性质.首先可以排除k=0的情况，那么k的方向选择就会存在两种情况，k<0或者k>0.当k<0时，我们可以运用代入法，随机挑选一个负数来作为k的值，通过验证可以发现C、D虽然符合反比例函数，但不符合一次函数，因此，可以排除C、D.当k>0时，仍然采用代入法，可以发现A不符合一次函数，所以结果是B.通过这样数形结合的方法，不仅能够帮助学生认知函数的性质及图像，同时还能够引导学生科学全面地搭建反比例函数与其他函数之间的关联性，进而拓展反比例函数的范畴，有效提升反比例函数的整体教学效率.

例2 若ab≠0，在平面直角坐标系中，函数y=ax2+b和函数y=abx的图像大致类型为以下哪一种.

在解答这一类题型的过程中，首先仍然要分析变量和不变量，在充分找出变量的情况下，来分析两种函数的变化特征.其实函数的变化，主要在于变量的存在，因此，只要找出变量值，然后根据变量的特征来进行分析，就能够很容易判断其图像.ab≠0，那么其结果为ab<0或ab>0.当ab<0时，逐步拆解分析a，b的不同正负关系，然后进行逐一分析与判断.通过有效判断，最终正确答案为A、B.

（二）图像固有性质类

反比例函数具有自身独特的属性，在解答反比例函数的难题或者对反比例函数的难点进行全面分析时，应该把握反比例函数的特性，尤其是反比例函数图像自身的特别属性.学生在实际的反比例函数题目的解答过程中，通过记忆和理解这部分内容，能够从题干中分析出已知量，在一些反比例函数的题目考核中，这些内容往往被隐藏了起来，但学生可以直接引用.不少学生反映反比例函数的题目似乎缺乏题干关键信息，是题目本身出现了问题，或者教材印刷存在质量问题.其实，关键还在于学生对于反比例函数图像的相关固有特性把握不严，没有扎实稳固反比例函数图像的诸多特殊属性.

例3 如图所示，反比例函数y=1x和一次函数y=kx相交，相交点为A和C，AB垂直于x轴，交点为B，那么三点组成的三角形的面积为多少呢？

在这类题型的解答中，题干内容很清晰，但学生在快速解答的过程中，可以发现题干并没有给出全面的意思，不少学生就打了退堂鼓，认为题干意思难以为解答服务.这其中，学生忽略了一个非常关键的反比例函数图像特性，那就是反比例函数图像中任一点纵横坐标的积是定值，基于这一特性，那么图像中三角形ABO与三角形BOC的面积是相同的.学生能够思考到这一个题干中隐藏的信息，解题的效率就提高了一半，题干中的其他疑问就顺其自然地解决了.

（三）综合类

在反比例函数的解题过程中，综合类的题型也是比较多样的.在综合类题型的解答过程中，学生可以从全面宏观的角度来判断题干中隐藏的已知量，然后再运用到解题过程中，这样能够快速地进行题干的解答.

例4 在反比例函数y=1x上，随意选择三个点D，E，F构成一个三角形，试论证这个三角形的垂心在反比例函数图像上.

在这一类题型的考核中，其实不仅是反比例函数的性质，还包括三角形的特性.因此，学生在解答这类复杂综合的题型时，要运用全面的视角，不仅应该关注反比例函数的特性，还应该关注三角形的特性，将三角形的垂心计算出来后，代入反比例函数中进行验证，就可以得到答案.首先，应该对三个点进行设置，分别得出三角形三个点的坐标值，然后再列出方程式，以此来进行有效的解答.

三、初中数学反比例函数的教学策略

反比例函数是初中数学中的难点课程，特别是对于一些抽象思维能力比较薄弱的学生，很难在学习或者解题的过程中，利用空间思维，运用数形结合的思想来快速解题，尤其是面对一些难度稍高的反比例函数题.因此，在初中数学反比例函数的学习过程中，应该科学有效地把握难点，逐步分析反比例函数题型的规律，注重把握反比例函数解答中的技巧，全面提升反比例函数的解题能力.

（一）在函数解答过程中运用数形结合等思想

在初中反比例函数的解答过程中，为了形象直观地帮助学生找到反比例函数的性质，同时引导学生利用数形结合的方式来快速准确地理解题干的意思.因此，在教学实践中，教师应该充分结合学生的实际需求，结合学生对反比例函数的认知特点来开展针对性的教学工作.教师在反比例函数的教学过程中，应该鼓励学生积极发散思维，积极运用相关的数学思想，包括数形结合、方程式、不等式等.同时，教师在引导学生进行反比例函数的图形的分析中，也应该注重其他数学思想的融合，帮助学生养成良好的认知意识，更加精确、更加快速地进行函数的解答.为训练学生这方面的能力，教师在反比例函数的教学实践中，应该多布置相应的题目，巧妙连接反比例函数与其他数学思想的融合.在这其中数形结合的思想是非常关键的，当遇到一个反比例函数时，尤其反比例函数与一次函数、三角形、正方形等相交的题目中，学生应该科学作图，以便直观地进行数学思维的转换.

（二）采用分层教学法提升教学针对性

反比例函数是兩条不相交的曲线，学生在学习反比例函数的过程中，可能会存在认知上的困难，可能因抽象思维能力的不足，而无法进行快速转换.为提升反比例函数的整体教学质量，教师必须采用分层教学法.结合班级内学生对反比例函数的认知，结合学生对反比例函数特性的掌握，将学生分为不同的等级，并按照等级内学生的基础情况，开展针对性的教学工作.部分反比例函数基础知识比较牢靠的学生，教师可以针对性地引导他们往更深的方向拓展.部分反比例函数基础知识相对薄弱的学生，教师可以适当地引导他们进行基础知识的巩固.通过这样科学的教学方法，能够全面提升反比例函数教学的针对性，能够真正做到因材施教.同时，在反比例函数的教学实践中，教师还可以将班级内的学生进行全面的分组，引导学生进行分组讨论，鼓励学优生主动带动学困生.

（三）引导学生学会函数建模

在反比例函数的解答过程中，反比例函数的类型是比较多样化的，但它的外形可能会有多种多样的变化.基于此，在反比例函数的解答过程中，教师可以引导学生，全面养成建模的思想.在反比例函数的解答过程中，学生应该善于总结反比例函数的题型特点，然后将共性的函数题目结合起来，搭建统一的模型.同时，教师也应该针对性地进行分类总结，在反比例函数的解答与分析过程中，主动融入建模思想，鼓励学生积极建模，引导学生积极分析反比例函数中的规律和特性，在此基础上分析它们的共性.这本身就是反比例函数的解答思路，同时也是反比例函数的建模基础.所以，教师必须鼓励学生积极建模，并在建模中，总结规律，把握要领，根据题干中的含义来进行有效建模.

四、总 结

初中反比例函数是学生学习生涯中接触到的第一个比较棘手的函数，在教学过程中，教师应该引导学生全面掌握反比例函数的特性，全面认知反比例函数的固有属性，同时还应该运用科学的解题方法，做好重点题型的解决，全面总结反比例函数的特性，运用建模的科学思想，来有效全面地进行反比例函数的解答.

【参考文献】

[1]张向彬.运用反比例函数巧解初中数学实际问题[J].数学教学通讯，2013（1）：63-64.

[2]邹凌志.提高初中数学课堂教学有效性的策略——以反比例函数为例[J].镇江高专学报，2012（3）：121-122.