初等矩阵的教学方案探析

苏永美 丁军

【摘要】初等矩阵是“线性代数”课程中一个非常重要的概念，对于初等矩阵概念的引入，大多数教材一般都是直接给出，然后再去验证三类初等矩阵的功能.本教学方案通过线性方程组两种不同的求解方式入手提出两个问题，在引导学生分析问题、解决问题的过程中给出了初等矩阵的概念，并得到了其在矩阵乘法中的功能.然后又以问题为导向，给出了利用初等变换求逆矩阵和解矩阵方程的方法.

【关键词】线性代数；初等矩阵；启发式教学；教学方案

一、引 言

初等矩阵是“线性代数”课程中一个非常重要的概念，它作为桥梁将矩陣的初等行变换与矩阵的乘法联系起来，从而得到了利用矩阵的行变换求矩阵的逆、矩阵的秩、向量组的极大无关组和向量组的秩及解矩阵方程等很多重要的方法，尤其是利用矩阵的初等变换计算逆矩阵的方法对初学者更是尤为神奇.“线性代数”的教材版本较多，不同版本的体系也略有不同，但无论是哪种版本，在学习初等矩阵之前，矩阵的代数运算和矩阵的初等变换都应该已经完成学习，这就为我们设计本次的教学方案提供了保证.本文从一个具体的线性方程组求解出发，提出问题，在引导学生思考的过程中给出了初等矩阵的概念，同时得到了初等矩阵在矩阵乘法中的功能，从而得到了利用初等行变换求逆矩阵和解矩阵方程的方法.

二、教学方案

本教学方案通过线性方程组两种不同的求解方式提出两个问题，然后引导学生分析问题、解决问题，具体过程如下：

（一）问题的引入

我们首先给出如下线性方程组，分别用两种方式给出方程组解的形式.

方法1 由于方程组的消元过程就相当于对线性方程组的增广矩阵做三种类型的初等行变换，当增广矩阵化为行最简形时，就可以直接写出方程组的解，过程如下：

通过上面两种方法求解，我们发现既可以只利用矩阵的初等行变换求解线性方程组，也可以通过矩阵的逆借助矩阵的乘法来求解线性方程组.将上面两种方法联系起来，很自然地就可以引导学生提出问题.

矩阵的初等行变换和矩阵的乘法之间有联系吗？矩阵的初等行变换是否可以借助矩阵的乘法来实现？

带着这个问题，我们进入教学的第二个环节，学生参与，探讨问题.

（二）问题的探讨

对于以上问题，为了方便学生们自己思考讨论，课上我们可以以二阶矩阵为例来探求初等行变换与矩阵的乘法之间的联系，为了更清楚地探究初等行变换和矩阵乘法的关系，我们将二阶矩阵A按行进行分块，然后给出A的三种初等行变换：

至此，学生们已经了解了矩阵的初等变换可以通过矩阵的乘法来实现.由于有了前面的讨论，学生们此时就可以自己推出初等矩阵共有三种形式，而且可以仿照上面二阶矩阵，分别用记号E（i，j），E（i（k）），E（i，j（k））来记录它们的产生方式和记载他们在矩阵乘法中的初等变换功能，此时再给出下面的定理就显得水到渠成了.

定理1 设A是一个m×n阶矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵，对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵.

至此，一开始提出的问题就得到了圆满解决.

课上学生们在自己参与的过程中得到了逆矩阵如此简单的计算方法，学生们在感受到思考的乐趣之余又获得了满满的成就感.

三、结 论

本文结合作者自身的课堂教学实践，设计了一个初等矩阵的教学方案，该方案从利用高斯消元法解线性方程组和借助逆矩阵、矩阵乘法解方程组入手提出问题，在引导学生思考参与的过程中给出了初等矩阵的概念，并让学生自己总结出初等矩阵在矩阵乘法中的功能，进一步得到了利用矩阵初等变换求逆矩阵和解矩阵方程的方法.由于整个教学过程都是学生们经过思考可以解决的，所以学生们的学习热情高涨，可以达到良好的教学效果.

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