现行铁路桥规中预应力钢筋锚固损失计算方法的改进

张元海，张鹏飞，杨霞林，林丽霞，张戎令

(兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070)

锚固损失是预应力钢筋张拉后锚固时，由于锚具变形、钢筋回缩等引起的一种瞬时预应力损失[1]。我国现行《铁路桥涵混凝土结构设计规范》[2](以下简称铁路桥规)在附录D中给出了后张梁预应力钢筋考虑反摩阻效应后的有效预应力计算公式，并未直接给出锚固损失计算公式;我国现行《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》[3](以下简称公路桥规)在附录D中给出了后张梁预应力钢筋考虑反摩阻效应时的锚固损失计算公式。文献[2-3]中给出的相关公式均基于若干简化假设条件。设计预应力混凝土梁时，尽量准确、合理计算预应力钢筋的锚固损失，对于保证结构具有足够的抗裂性能尤其重要。

近年来，众多学者在后张梁预应力钢筋的锚固损失计算方面开展了大量研究工作。文献[4]针对桥梁设计中采用较多的由直线段和圆弧段间隔布置的预应力钢筋(钢束)线型，推导了考虑反摩阻作用的锚固损失简化计算公式，并讨论了减小锚固损失和摩阻损失的途径，提出在一定条件下采用单端张拉比两端张拉更有利于减小预应力损失。文献[5]将预应力钢筋的有效预应力沿全长按分段线性分布考虑，导出计算锚固损失的分段线性化近似公式，有助于简化复杂线型预应力钢筋的锚固损失计算。文献[6]从张拉预应力钢筋时的摩阻损失计算公式出发，推导了考虑反摩阻作用的锚固损失计算公式和反摩阻影响长度计算公式，并给出了预应力钢筋按二次抛物线布置时的处理方法。文献[7]介绍了一种考虑反摩阻作用的锚固损失简化计算方法，无论预应力钢筋按何种线型布置，均近似认为预应力钢筋张拉时摩阻损失在张拉端和锚固端之间的构件长度范围内按同一斜率呈直线型分布，并假设张拉时的摩阻作用与锚固时的反摩阻作用完全相同。这种简化计算方法正是公路桥规中推荐的锚固损失计算方法。文献[8]采用相同的简化方法，推导出当反摩阻影响长度大于张拉端至锚固端之间构件长度时反摩阻影响长度计算公式，可减小通过试算途径确定反摩阻影响长度时的工作量。文献[9]通过分析预应力钢筋微段的平衡，推导了预应力钢筋全长按圆弧线型布置时的锚固损失精确计算公式。文献[10]基于相同的思路，提出了由直线段和圆弧段任意组合线型布置钢束的锚固损失计算方法，并给出了相应公式。文献[11-12]提出在有限元数值分析中模拟锚固损失和摩阻损失的处理方法。文献[13]介绍了一种估算锚固损失的近似方法。文献[14]提出一种操作简便的竖向预应力钢筋锚固损失测量方法。

本文在理论分析基础上，指出铁路桥规中附录D给出的预应力钢筋反向摩阻计算公式与第7.3.4条给出的预应力钢筋张拉时摩阻损失计算公式之间的不协调，并提出改进建议。针对实践中广泛采用的预应力钢筋布置线型，推导锚固损失的精确计算公式，并揭示预应力钢筋张拉时摩阻作用与锚固时反摩阻作用的不同分布规律。

1 铁路桥规中的简化计算方法

现行铁路桥规在附录D中列出了后张梁预应力钢筋反向摩阻计算规定[2]。两端张拉且左右对称布置的预应力钢筋(钢束)如图1(a)所示，仅画出左半部分。端部AB段为斜直线，BC段为圆弧线，半径为r，CD段为水平线。图1(b)为钢束锚固前和锚固后的应力分布曲线示意图(以钢束不动点F位于圆弧段时为例)，图中A′B′C′D′为锚固前的应力分布，它与过A′点的水平虚线(对应的应力为锚下控制应力σcon)之间的差值即为摩阻损失σL1，A″B″F′C′D′为锚固后的有效预应力分布。曲线A′B′F′与A″B″F′之间的差值即为锚固损失σL2。与上述两条应力分布曲线交点F′对应的F点即为钢束的不动点，AF为反摩阻影响长度，其水平投影长度用lm表示，圆弧段BF对应的圆心角用θm表示。为了简化计算，将钢束锚固前、后的应力分布曲线分别用折线A′B′C′D′和A″B″F′C′D′近似代替，并假设A′B′F′与A″B″F′对称于水平线F′F″。钢束上任一计算点至端部A的水平距离用x表示，钢束线型分界点B和C至端部A的水平距离分别用x1和x2表示。

(a)钢束线型简图

(b)钢束应力分布图1 现行铁路桥规中的钢束简图及应力分布

预应力钢筋锚固时，锚具变形和钢筋回缩量Δl应等于反摩阻影响长度内钢筋各微段回缩变形之和，可将该变形协调条件近似表示为

( 1 )

式中：Ep为预应力钢筋弹性模量。由于式( 1 )右端结果就是五边形A′B′F′B″A″的面积，故由图1(b)可知

( 2 )

( 3 )

( 4 )

式中：μ为钢束与孔道壁之间的摩擦系数；k为孔道局部偏差影响系数，其余符号意义参考图1。

将式( 2 )代入式( 1 )，可求得

( 5 )

由图1(b)可以看出，当钢束锚固后，端部的有效预应力σ0及距端部水平距离为x处的有效预应力σx计算公式分别为

( 6 )

当0≤x≤x1时

σx=σ0+σL1(x)=σ0+σconkx

( 7 )

当x1

( 8 )

( 9 )

当0≤x≤x1时

(10)

当x1

(11)

预应力钢筋锚固完毕后，由于混凝土弹性压缩引起的应力损失已经发生，此时有效预应力应在式( 7 )、式( 8 )的基础上扣除混凝土弹性压缩损失σL4，这样就得到铁路桥规附录D中给出的当钢束不动点位于圆弧段上时预应力钢筋距端部水平距离为x处的有效预应力σx计算公式。

铁路桥规附录D中给出的有效预应力σx公式中，已将锚固损失σL2和张拉时的摩阻损失σL1扣除(将摩阻损失σL1按照分段线性分布近似扣除)，这是应用铁路桥规附录D中有效预应力公式时容易忽视的地方，也是与铁路桥规第7.3.4条中预应力钢筋张拉时摩阻损失计算公式不协调的地方，因为第7.3.4条已明确给出预应力钢筋张拉时摩阻损失计算公式(7.3.4-1)，即按照指数函数表达式计算。此外，若为了考虑预应力钢筋锚固时所受反摩阻作用而按式( 7 )、式( 8 )计算有效预应力，还将产生以下两个问题：一是第7.3.4条中规定的预应力钢筋张拉摩阻损失计算公式(7.3.4-1)没有应用的机会；二是不便于计算锚固损失的具体数值。若通过在锚下控制应力σcon中减去按式( 7 )、式( 8 )计算的有效预应力σx这一途径计算锚固损失σL2，则将导致严重错误，因为这样计算得到的结果是锚固损失σL2与近似按线性分布公式计算的摩阻损失σL1之和。

综上，现行铁路桥规在附录D中给出的有效预应力公式存在弊端，建议直接给出锚固损失的计算公式，以便于应用。本文明确给出了钢束不动点位于圆弧段上时的锚固损失计算式( 9 )～式(11)，钢束不动点位于端部直线段或中部水平段上时的锚固损失公式也可导出，限于篇幅不再列出。

2 锚固损失的精确分析

仍以两端张拉且左右对称布置的预应力钢筋为例进行分析。如图2(a)所示，端部AB段为斜直线，长度为sz；BC段为圆弧线，长度为sc，对应的圆心角为α，半径为r；中部CD段为水平线。采用沿钢束长度的曲线坐标描述计算点位置，为了方便，在每一段上设置局部坐标si(i=1, 2, 3)，原点位于每段的起始端处。整体坐标s的原点位于端部A处。图2(b)为钢束锚固前和锚固后的应力分布曲线示意(钢束的不动点F位于圆弧段上)，为了更具一般性，图2(b)中绘制的曲线A′B′F′与A″B″F′并不具有关于水平线F′F″的对称性，这与铁路桥规和已有文献中常用的近似处理方法不同。

(a)钢束线型简图

(b)钢束应力分布曲线图2 钢束线型及应力分布曲线

为了分析钢束锚固后所受反摩阻作用，在钢束曲线段上G点处(圆弧段BG的圆心角为θ)取出微段ds2，对应的圆心角为dθ。图3为分析微段反摩阻作用的受力简图，图3微段所受反摩阻力dF由两部分组成，即由于孔道弯曲和孔道设计位置偏差引起的摩阻力。dF可表示为[1]

dF=N(μ·dθ+k·ds2)

(12)

式中：N为钢束中的拉力。

图3 钢束微段受力简图

由微段的切向平衡条件可知，dF=dN，代入式(12)可得

(13)

式中：σ为钢束中的拉应力，它与钢束拉力N的关系为N=Ap·σ，Ap为钢束截面积。

对式(13)两边积分，可得

μθ+ks2=lnσ+C

(14)

式中：C为积分常数，可由边界条件确定。

σ=σcon-σL1(s2)-σL2(s2)=σcone-(μθ+ks2+ksz)-σL2(s2)

(15)

可求得圆弧段上任一点处的锚固损失σL2(s2)为

(16)

同理，在钢束端部直线段上任一点处取微段ds1，采用同样的推演过程，可得钢束端部直线段上任一点处的锚固损失σL2(s1)为

(17)

(18)

在式(18)中令s2=sf，θ=θf(sf和θf分别为钢束不动点F至圆弧段起始端B的曲线长度及相应圆心角，sf=rθf)，即得钢束不动点F处的锚固损失，再利用该锚固损失为0的条件，可将式(17)和式(18)改写为

σL2(s1)=σconeks1[e-2ks1-e-2(μθf+ksf+ksz)]

(19)

σL2(s2)=σconeμθ+ks2+ksz·[e-2(μθ+ks2+ksz)-e-2(μθf+ksf+ksz)]

(20)

式(19)和式(20)为钢束不动点位于圆弧段上时的锚固损失计算公式，其中只包含了一个未知量sf。由于在推演过程中未采用任何假设，因此它们是精确公式。

由钢束的变形协调条件可知

(21)

将式(19)和式(20)代入式(21)，可求得

(22)

式中

(23)

(24)

在式(22)中令sz=0，得钢束只按圆弧线布置时的反摩阻影响长度lm为

(25)

这正是文献[9]导出的公式，即文献[9]中的公式是本文公式的特例。

同理，可推导出当钢束不动点位于端部直线段和中部水平线上时的锚固损失计算公式及不动点位置计算公式，因篇幅所限不再列出。

钢束张拉时所受的摩阻作用表现为摩阻损失，端部直线段和圆弧段上任一点处的摩阻损失可分别表示为

σL1(s1)=σcon(1-e-ks1)=σcone-ks1(eks1-1)

(26)

σL1(s2)=σcon[1-e-(μθ+ks2+ksz)]=σcone-(μθ+ks2+ksz)·(eμθ+ks2+ksz-1)

(27)

(28)

(29)

(30)

将式(19)、式(20)、式(26)、式(27)和式(30)代入式(28)和式(29)，可得反摩阻损失为

σLT(s1)=σcone-2(μθf+ksf+ksz)(eks1-1)

(31)

σLT(s2)=σcone-2(μθf+ksf+ksz)(eμθ+ks2+ksz-1)

(32)

比较式(26)、式(27)与式(31)、式(32)可知，反摩阻损失小于摩阻损失，即图2(b)中的曲线A′B′F′与A″B″F′不关于水平线F′F″对称，曲线A″B″F′比A′B′F′更靠近水平线F′F″。当钢束不动点位于端部直线段或中部直线段上时，亦有相同的结论。目前许多文献在计算锚固损失时假定摩阻作用与反摩阻作用完全相同，这显然是不符合实际的。

将本文提出的锚固损失精确计算方法与铁路桥规中的简化计算方法对比，铁路桥规中锚固损失计算方法的不合理性和近似性主要表现在以下方面：

(1)忽略钢束锚固后的反摩阻作用小于张拉时的摩阻作用这一规律，认为摩阻作用与反摩阻作用完全相同。

(2)铁路桥规中将钢束锚固前和锚固后实际按指数函数分布的应力曲线近似用折线代替。

(3)无论钢束曲线的弯曲程度如何， 一律用沿梁轴方向的钢束投影长度代替其实际长度，这在一定程度上影响到按钢束变形协调条件计算不动点位置时的准确性，使锚固损失计算结果为近似值。

Wu等[12]选择自制的季铵盐作为表面活性剂，以二水钼酸钠和氨基硫脲分别作为钼源和硫源，以乙醇水溶液作为介质，通过表面活性剂促助法制备出直径为0.5～2 μm的MoS2纳米实心微球，研究表明，适量表面活性剂的存在能够使球状产物不产生团聚，且结构更为稳定。

3 数值算例及分析

作为数值算例，对小凌河特大桥32 m预应力混凝土简支箱梁N4和N6钢束的锚固损失进行计算比较。钢束线型按端部斜直线+圆弧线+水平直线+圆弧线+端部斜直线布置，左右对称，钢束左半段如图4所示[6]。

(a)N4钢束

(b)N6钢束图4 钢束布置简图(单位：m)

钢束采用两端张拉方案，锚下控制应力σcon=1 250 MPa，锚具变形及钢筋回缩值Δl=6.8 mm，摩擦系数μ=0.265，孔道局部偏差影响系数k=0.003。分别按本文提出的精确计算方法及铁路桥规和公路桥规中的简化计算方法对钢束锚固损失进行计算，表1列出按3种方法计算的不动点位置lf(沿梁轴方向度量的反摩阻影响长度)及3个计算点处的锚固损失计算结果。表1中钢束的3个计算点用A、B、C表示，分别代表钢束端部、端部斜直线与圆弧线交点处及圆弧线与中部水平线交点处，相应锚固损失分别用σL2(A)、σL2(B)、σL2(C)表示。

表1 按不同方法计算的结果比较

注：1.表中的lf表示钢束不动点至端部的水平距离，即沿梁轴方向度量的反摩阻影响长度；2.相对误差=(桥规计算值-本文方法计算值)/本文方法计算值×100%。

由表1可以看出，总体而言，按公路桥规计算的结果误差较大，而铁路桥规计算值误差相对较小。与精确方法的计算结果相比，按铁路桥规求得的反摩阻影响长度偏小，相对误差一般在10%左右，而按公路桥规求得的反摩阻影响长度明显偏大，N4钢束的偏差值已超过50%。按铁路桥规计算的钢束端部及斜直线与圆弧线交点处的锚固损失均大于精确值，N4钢束约超出8%，N6钢束约超出12%(钢束不动点附近除外)；按公路桥规计算的锚固损失均小于精确值，尤其是按公路桥规计算的N6钢束在斜直线与圆弧线交点处的锚固损失相对误差达到了37.3%。显然，按公路桥规计算锚固损失将导致较大偏差，不适用于实际桥梁设计，尤其在对预应力混凝土梁进行抗裂性验算时会带来较大隐患。

(a)N4钢束

(b)N6钢束图5 钢束的锚固损失分布

为了更加直观地显示按3种方法计算的锚固损失之间的差别，图5给出了钢束端部11 m范围内(水平投影长度)的锚固损失分布曲线。图5中描述钢束计算点位置的横坐标已统一转化为梁轴方向的投影坐标。由图5可以看出，按铁路桥规简化计算方法和本文精确方法计算的钢束锚固损失分布曲线较接近，即，按铁路桥规分段线性表达的简化式(10)、式(11)计算结果能够近似代表按指数函数表达的锚固损失精确式(19)、式(20)计算结果，而且在锚固损失较大的端部区域，由于前者大于后者，在实践中应用是可行的。这也说明了在计算锚固损失时，将指数函数展开成级数，取前两项不会引起太大误差。在距离钢束不动点位置较小的区段内，铁路桥规计算结果与精确方法计算结果已非常接近。

由图5还可以看出，在钢束端部附近区段内，按公路桥规中锚固损失简化计算方法求得的结果比精确值小，而在钢束圆弧段与中部水平段交点附近区段内，按公路桥规简化计算方法求得的结果比精确值大，可见，按公路桥规计算的锚固损失失真严重。

(a)N4钢束

(b)N6钢束图6 钢束锚固前后的有效预应力分布

图6为按本文精确方法计算的钢束锚固前后有效预应力分布曲线。由图6可以看出，在反摩阻影响长度范围内，锚固前的有效预应力σy1曲线与锚固后的有效预应力σy2曲线关于水平虚线不对称，σy2曲线比σy1曲线更靠近水平虚线，但总体上不对称性不明显，两组钢束中N6钢束的不对称性稍大些。这说明在反摩阻影响长度范围内，虽然反摩阻作用小于摩阻作用，但从简化计算角度考虑，近似认为摩阻作用与反摩阻作用相同不会引起太大误差。

从图6还可以看出，由于在反摩阻影响长度内两条有效预应力曲线之间的差值即为锚固损失，简化计算中，若将σy2曲线近似用σy1曲线关于水平虚线的对称曲线代替，将会使求得的锚固损失大于实际值。这也是按现行铁路桥规简化计算方法求得的锚固损失近似值一般大于精确值的原因。为了提高铁路桥规简化计算方法的精度，可将按铁路桥规计算的锚固损失结果乘以小于1的修正系数，并考虑钢束实际线型的影响。修正系数的取值尚需进一步研究。

4 结论

(1)在理论分析基础上，指出了现行铁路桥规中预应力钢筋反向摩阻计算公式与张拉时摩阻损失计算公式之间的不协调性和应用时的弊端。作为对现行铁路桥规中反摩阻计算公式的改进建议，明确给出了钢束锚固损失的实用简化计算公式，建议纳入现行铁路桥规附录D中。

(2)推导了后张法预应力混凝土梁钢束锚固损失的精确计算公式，在此基础上，分析预应力钢筋张拉时摩阻作用与锚固时反摩阻作用之间的差别，得出反摩阻作用小于摩阻作用的结论。

(3)现行铁路桥规中的反向摩阻简化计算公式具有较好的计算精度，现行公路桥规中的计算公式不能客观反映钢束锚固损失的实际情况。设计公路桥梁时，建议参照现行铁路桥规计算钢束的锚固损失。

(4)对进一步改进现行铁路桥规中的反向摩阻计算方法提出建议。对由于忽略反摩阻作用与摩阻作用之间差别而引起的锚固损失计算值偏大的问题，提出了通过引入小于1的修正系数的解决方案。

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