初中数学解题思路探讨

李星星

[摘 要] 对于初中数学，教师需要从数学思想着手，给学生教授有效的解题思路与解题方法. 本文以人教版初中数学为例，结合具体知识点以及例题详细介绍初中常见的数学思想与解题方法，供广大初中数学教育工作者参考.

[关键词] 人教版；初中数学；解题思路

创新思路分析

对于初中数学学习而言，最重要的就是引导学生掌握相应的数学知识点，加深理解，学会运用. 在教学过程中，教师要优化示范教学，引导学生对所学知识有一个初步的认知，在此基础上形成个人的思考，尝试去运用所学知识. 与此同时，老师也要鼓励学生总结常见习题的规律、学会自我归纳，帮助学生掌握不同题型的解题技巧，进而锻炼学生的创新思维.

认真审题，明确方法

初中生的语言理解能力以及逻辑思维能力尚不发达，在题干要求比较复杂的情况下难免会产生误解或理解不完全. 因此，教师在强调审题的同时，要加强学生理解能力的培养，结合习题与生活.

初中数学思想方法及例题解析

1. 数形结合思想

数形结合思想指的就是利用几何图形来处理代数问题，使得题目的数量关系更为直观地反映出来，将数字与图形巧妙地结合起来，在此基础上寻求解题思路，简化问题的解决过程. 下面以人教版初中数学八年级下册“勾股定理”一章为例进行详细说明.

（1）题干要求.

长方形卡片ABCD中，将B点折叠至与D点重合，EF为折痕，如图1所示. 其中，AB=3 cm，BC=5 cm. 试求折叠后形成的三角形DEF面积为多少？

（2）思路分析.

分析题干与图形可知，由于B点折叠到D点，因此直线BF的长度与直线DF的长度相等，又因为三角形DCF是直角三角形，根据勾股定理可求解出DF的长度. 然后结合图形可知∠CDF+∠EDF=90°，∠A′DE+∠EDF=90°，进而推导出∠CDF=∠A′DE. 又因为∠C=∠A′=90°并且A′D=AB=CD，可得三角形A′DE与三角形CDF全等，最后便可求解得出三角形DEF的面积.

（3）解答过程.

设BF=x，则BF=DF=x，所以FC=BC-BF=5-x. 因为三角形DCF是直角三角形，所以根据勾股定理可知DF 2=CD2+FC2. 又因为长方形ABCD卡片中AB长度为3 cm，所以x2=（5-x）2+32，计算可得x=3.4 cm. 因为∠CDF+∠EDF=90°，∠A′DE+∠EDF=90°，所以∠CDF=∠A′DE. 因为∠C=∠A′=90°且A′D=AB=CD，所以△A′DE≌△CDF，即DF=DE=3.4 cm. 因为AB是三角形DEF的高，所以S=DE·AB=×3.4×5=5.1 cm.

2. 化归思想

在人教版初中數学中，化归法的一个重要内核就是“化未知为已知”，比如通过一定的转化过程可以将分式方程转化为整式方程，将代数问题转化为几何问题等等. 下面以人教版初中数学九年级上册“一元二次方程”一章为例进行详细说明.

（1）降次运算.

在人教版初中数学中，没有直接讲授四次方程的求解方法，但老师可以引导学生利用化归的思想，将一元一次方程或者一元二次方程的解法与之结合，转化为方法明确的方程类型进行求解，例如：

① 题干要求

已知：x2+x=1，求解：x3+2x2+2009.

② 思路分析

利用化归转化的数学思想，通过“化整为零”对问题进行简化处理.

③ 解答过程

因为x2+x=1，所以x2=1-x. 则有：

x3+2x2+2009

=x（1-x）+2（1-x）+2009

=-x2-x+2011

=-（x2+x-1）+2010

=2010.

（2）转化处理.

对于条件未知或是处理过程繁杂的数学问题，教师需要引导学生运用化归方法进行转化，将未知的、难度较大的问题转变为已知的、难度较小的问题，简化求解过程，保证求解结果的准确性.

① 题干要求

已知：二元一次方程组x+3y=4，x+y=1， 求解：x，y的值.

② 思路分析

在目前的学习中，同学们还没接触到二元一次方程组的求解，因此可以使用化归法将其转变为已知的方法，即一元一次方程.

③ 解答过程

令x+3y=4为式①，令x+y=1为式②，①-②得2y=3，所以y=. 将结果代入式①或式②，计算得出结果为：x=-， y=.

3. 分解组合思想

在解题过程中，题干已知条件有时候不能直接应用，需要进行一定的处理. 对题目已知条件进行观察，从问题的求解出发有目的地对已知条件进行分解或重新组合，进而简化解题过程，这就是分解组合的解题思路. 下面以人教版初中数学八年级上册“整式的乘法与因式分解”一章为例进行详细说明.

（1）题干要求.

已知：x=，y=，求解：x2-6xy+y2.

（2）思路分析.

将x，y直接代入原式求解，过程烦琐，且容易出错. 通过观察题干，我们可以发现x2-6xy+y2可以进行分解组合，变为（x+y）2-8xy这一简单的式子，此时只需要计算x+y与xy的值.

（3）解答过程.

x2-6xy+y2=（x+y）2-8xy，x+y=+==，xy=·==，所以（x+y）2-8xy=（）2-8×=5-4=1，所以x2-6xy+y2=1.

4. 整体思想

在初中数学的范畴内，整体代入是一种常见的解题方法，这体现的就是整体思想. 整体代入指的就是将题目的已知条件作为一个整体，不进行拆分处理，将已知条件整体运用到问题的求解当中，省去了无谓的计算过程，同时也能保证计算结果的准确性.

（1）题干要求.

已知：x2+x-1=0，求解：x3+2x2+99.

（2）思路分析.

本题若采用常规解法，先计算x的值，然后再代入到x3+2x2+99中进行计算，情况比较复杂，计算过程易错. 通过观察x2+x-1以及x3+2x2+99，可知如果将x3+2x2+99整理成x2+x-1或x2+x的形式，就可以借助x2+x-1=0这一已知条件，大大地降低了计算难度.

（3）解答过程.

解法一：x3+2x2+99=x（x2+x-1）2+（x2+x-1）+100，因为x2+x-1=0，所以x3+2x2+99=x·0+0+100=100.

解法二：因为x2+x-1=0，所以x2+x=1，x3+2x2+99=x（x2+x）+x2+99=x+x2+99=100.

5. 极限思想

在选择题的解题过程中，可以不进行严密的数学运算，结合题干已知条件进行特殊处理，考虑最一般或最极限的情况，采用特殊值法进行求解.

（1）题干要求.

已知：菱形ABCD如图2所示，沿着对角线AC方向移动图形至A′B′C′D′处，两者的重叠部分如图所示，其面积为菱形ABCD面积的一半. AC=，求解：菱形ABCD移动的距离AA′.

A. 1 B.

C. -1 D.

（2）思路分析.

在处理时，可以分析极限情况，即将菱形ABCD看成是正方形.

（3）解答过程.

因为正方形的面积等于其对角线平方的一半，所以S=AC2=1. 因为重叠部分面积为正方形ABCD面积的一半，所以A′C2=，即A′C2=1. 因为AA′=AC-A′C=-1，因此结果选C.

结语

通过以上的论述，笔者认为：初中数学内容具备抽象性、复杂性等特点，所以对于学生而言，数学学习的难度自然比较大. 在初中数学的教学过程中，为了尽可能地降低学生的学习难度，激发学生学习数学的热情，教师要以教学内容为基础，引导学生总结不同题型的解题思路与解题方法，为学生学习数学指明方向.