关联同类最值问题，经历变式拓展过程

周红

[摘 要] 教学过程中发现学生的疑难点、疑惑处，并经过必要的关联同类、变式拓展之后，辅以教学追问，让学生加深对这类疑难点的理解，能达到解一题、会一类、通一片的教学效果.

[关键词] 最值问题；问题意识；关联同类；变式拓展

郑毓信教授在新作《问题意识与数学教师的专业成长》一文中指出：問题引领对于数学教学的特殊重要性，强调由具体内容提炼出核心问题，通过适当的提问将学生的注意力由具体知识引向隐藏于其背面的数学思想方法，从而逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考. 在一次“圆”的单元测验中，笔者所教班级有两道最值问题的得分率很低，学生无从下手，于是笔者结合学生已有的认知，给学生梳理了一节有关圆中最值问题的习题课，试图通过这节最值问题教学，让学生学会思考，想得更深，想得更合理，也悟得更透，从而经历这类难题的思路突破过程，发展他们的数学核心素养.

“最值问题”习题课的教学流程

1. 教学环节一：建立数学模型（圆外一点到圆上各点的最短距离）

模型 如图1，P是⊙O外一点，直线PO分别交⊙O于点A和点B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离，即d-r，其中d为OP的长，r为⊙O的半径，简称一点一圆模型.

笔者在此基础上让学生尝试练习.

习题1 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上一个动点，连接AP，则AP的最小值是______.

设计意图 让学生对模型有初步认识，能从复杂条件和图形中找出已知点和圆，进而借助一点一圆模型求最值.

上述模型已知动点的轨迹，即动点在一个圆上运动，但如果题中没有明确动点的运动轨迹，要求最值，又该如何分析、建模呢？

2. 教学环节二：探究动点的运动轨迹

习题2 如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值.

习题3 如图4，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上运动，连接AE和DF交于点P，点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=4，试求出线段CP的最小值.

设计意图 这两道题都是求一定点与一动点所连线段的最值问题，难点是探究出动点的运动轨迹. 习题2由翻折可得A′M=AM是定值，此时要让学生联想到圆的定义，即到一定点的距离等于定长的所有点的集合是圆；习题3结合正方形的性质和全等知识能得到动点P在运动过程中，与定点A，D所连线段的夹角是直角，根据直角三角形的直角顶点在以斜边为直径的圆上运动，可探究出动点的运动轨迹也是圆. 上述两道题意在让学生根据已知条件和已有知识模型，先探究出运动轨迹，然后利用一点一圆模型解决问题.

经过上述铺垫，接下来可以放手让学生解决试卷中的一道填空题.

习题4 如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF. 连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H. 若正方形的边长为2，则线段DH的长的最小值是______.

数学学习要的就是变通，体现出来的就是数学中的转化思想或化归思想，即利用知识的联系，把不熟悉的转化为熟悉的，把复杂的转化为简单的. 上述试题都是一定点一动点问题，如果遇到两个动点，又该如何解决呢？

3. 教学环节三：两动点问题的转化

习题5 如图6，⊙O是以原点为圆心、2为半径的圆，点P是直线y= -x+8上一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______.

设计意图 利用切线的性质构造直角三角形，借助勾股定理表示出所求线段PQ的长，从而把线段PQ的最值转化为线段OP的最值，即可以通过计算把两动点问题转化为一定一动问题，进而利用垂线段最短解决.

习题6 如图7，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P和点Q，求线段PQ的最小值.

所求线段PQ是圆的直径，这是个动圆，要解决此题，一定要紧扣动圆满足的两个条件：①过点C；②与边AB相切. 假设圆心为O，圆O与边AB相切于点D，连接OC，OD，则PQ=OC+OD，所以当O，C，D三点共线时直径PQ取得最小值.

设计意图 让学生分析出运动过程中的定量关系，把不熟悉的问题转化成熟悉的三点共线求最小值问题，使学生逐渐形成转化意识.

习题7 如图8，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M和点N，则线段MN的长的最小值是______.

设计意图 此题是前面两道题的综合，首先根据已知条件可探究出弦MN的长是半径的倍，再根据动圆满足的条件求出半径的最小值，从而求解.

习题8 如图9，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上.

（1）证明：CE是⊙O的切线；

（2）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB=8时，求CD+OD的最小值.

设计意图 学生有了转化意识，思考这一题时，就会联想到这是线段和的最值问题，通常化归为三点共线来解决，难点是CD的转化，但结合题中的30°，不难想到解决方法.

教后反思

1. 关联同类，让学生对最值问题进行类比学习

教学中难点、难题的突破，需要适当拉长过程，延长学习时间，以暴露难点或难题的思维过程. 基于这样的认识，我们将学生学习过程中出现的关于圆的最值问题难题进行梳理、归类，将同类最值问题关联起来，逐次呈现，让学生对最值问题进行类比学习，达到了较好的教学效果.

2. 变式生长，让学生经历最值问题由浅及深的拓展过程

在具体呈现该课时，要注意从简单出发，让学生经历最值问题由浅及深的理解过程，感受难题也是由简单的模型包装而来，且在不断的变式、生长、拓展过程中，隐藏了原先较为基础的一些模型或经典图形和性质，成为一道较难的问题. 学生如果善于转化，能将复杂问题中的繁多线条适当抽离、剥离出基本图形，就可以实现问题的有效转化.

3. 预设追问，师生在对话互动中追求最值问题的深刻理解

由于最值问题是初中阶段较难的一类问题，这时在教学过程中需要预设恰当的铺垫与跟进追问，使学生在教师的点拨或追问下自主发现思路，以达到对最值问题的深刻理解. 这也涉及所谓的教学艺术话题，因为一般教师会奉送真理，而好的教师会启发真理，让学生意识到自主发现思路后的那种愉悦与自信超越解题本身，于是学习的趣味也就应运而生. 想来，春风化雨、润物无声，也是我们的共同追求吧.