初中数学几何证明解题思路探析

葛敏洁

[摘 要] 几何比纯代数知识更为复杂，几何证明题不仅涉及计算，对于学生的逻辑思维能力也是巨大的考验. 在教学中，教师应着重分析常见的几何证明解题思路与解题方法.

[关键词] 初中数学；几何证明；解题思路；人教版

初中几何证明解题基本思路

（一）仔细读题，理清题意

几何证明题以几何定理为基础，通过对已知条件进行分析，推导出题目给定的结论. 几何证明题的难点在于用已知的定理不能直接推导出答案，这也就造成部分学生知道定理但还是不会证明. 在这样的情况下，教师需要做的就是鼓励学生分析题目条件，结合自身掌握的定理，充分利用已知条件，有时候也可以通过结论倒推条件，将思考过程用几何证明的规范语言反过来写一遍就是证明过程. 在这个过程中，学生的联想能力、逻辑思维能力都得到了提升.

例如，人教版九年级数学上册第24章“圆”中有这样一道习题：

已知AB为圆O的直径，ED与圆O相切于点C，AC是弦，满足AD⊥CE，垂足为D，求证：∠BAD被AC平分.

在读题时，看到“AB为圆O的直径”这一条件，就要知道∠ACB=90°；“ED与圆O相切于点C”这一条件可以说明OC⊥ED且∠ACD=∠B. 通过对已知条件进行转化，能够得到证明需要的图形关系，最终将本题解答出来.

（二）识图，解析图形

多数的几何证明题涉及的图形都比较复杂，并不是所有图形都会用到，有实际作用的只是其中一部分. 因此，教师要指导学生学会简化图形，掌握分解以及组合的解题技巧. 学生在面对复杂的几何图形时如果表现出较强的畏难情绪，无法展开联想或者一点解答思路也没有，教师就需要给予适当的帮助，指导学生弄明白复杂的几何图形由哪些基本图形组成，这些基本图形分别具备哪些重要性质，有什么规律. 长此以往，学生在遇到比较复杂的几何题时就会自主地进行分析，对一些常见的基本图形会产生熟知感，便于解题思路的形成.

（三）审题，明确要求

在解决几何证明的问题时，学生看到题目后的第一感觉往往就是去找解题的关键，当然这种感觉的产生是建立在认真读题、读图的基础上的. 只有做好这两方面的准备，学生的思维才会打开. 在进行几何证明题的训练时，教师要指导学生坚持这种思考方式，在掌握基础知识的前提下充分锻炼思维张性. 时间一长，学生在能解答好几何题的基础上，对其他题型也能做到有的放矢，部分学习能力较强、思维较活跃的学生在解题过程中能充分利用几何知识，大大简化求解过程.

还是以上面的习题为例，学生在老师的指导下得出∠BAC=∠CAD，即本题证明完毕. 但如果学生不看清楚要求，就会继续做下去，继而得出其他结论，比如△ACB∽△ADC，=，最终得出AC2=AB×AD.

（四）准确书写，规范解答

并不是所有的几何题都具备较大难度，学习内容的设置肯定是难易结合的. 尽管如此，部分学生在书写时过于随意，证明过程不规范，使得整个推导过程缺乏条理性. 因此，教师要重视学生几何语言的规范性，在日常的作业中就要严格要求，引导学生锻炼文字组织能力，教导学生书写证明过程要依据思路展开，遵循几何证明题的书写规则. 下面以人教版九年级数学下册第27章“相似”为例，展示规范的几何证明过程.

1. 题干要求

如图2，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，试证明△ABC與△ADE相似.

2. 分析演绎

易知，△ADE与△ABC相似，因此可以采用相似的定义进行证明，即证明∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，==. 因为DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用结论. 但从要证明的=可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的边上，只需将DE平移到BC边上去，使得BF=DE，再证明=就可以了. 只要过点E作EF∥AB，交BC于点F，BF就是平移DE所得到的线段.

3. 解答过程

因为DE∥BC，

所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

过点E作EF∥AB，交BC于点F，

因为DE∥BC，EF∥AB，

所以=，=.

因为 四边形DBFE是平行四边形，

所以 BF=DE.

所以=.

所以==.

因为∠A=∠A，

所以△ABC∽△ADE.

（四）学习反思，总结经验

由于几何证明题条件较多，图像较复杂，因此部分学生在完成证明后就彻底松懈了，但是解题过程到这里并没有完全结束，一个完整的解答过程还包含解析验证. 在日常的解题过程中，老师就需要引导学生养成答题后二次审题的习惯，重新审题，确定题目中没有其他的隐含条件. 在这个过程中学生会收获到更多的知识，同时也是对其学习思维的有效巩固. 通过学习反思，学生能够对自己的证明过程进行核查，强化了学生的信息收集、问题解析能力.

初中几何证明解题思考方法

（一）综合法

综合法指的就是充分利用已知条件，在个人分析的基础上，结合相应几何内容的定义、定理以及法则等知识，一步步向需要证明的结论推进，最终推导出命题的结论.

1. 题干要求

如图4，已知AB，CD相交于O，△ACO≌△BDO，AE=BF，求证：CE=FD.

2. 分析演绎

对题干进行观察分析，本题适用综合法进行证明.

AB、CD相交于O？圯∠AOC=∠BOD，

△ACO≌△BDO？圯

CO=DOAO=BOAE=BF？摇？圯EO=FO

？圯△ECO≌△FDO？圯CE=DF.

按照这一思考过程进行解答，就能得到本题的证明结果.

（二）分析法

从一定程度上来说，分析法就是综合法的逆过程，首先就是从待证明的结论出发，假设命题为真，分析命题为真的原因，探求命题成立的条件，像这样一步步逆推，向已知条件靠拢，最终回归到证明过程需要的条件以及题目的已知条件上.

1. 题干要求

如图5，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求证：AB=DE，AC=DF.

2. 分析演绎

在本题中，欲证AB=DE，AC=DF，即证△ABC≌△DEF，

AB=DEAC=DF △ABC≌△DEF∠B=∠DEFAB∥DEBC=EFBE=CF∠ACB=∠FAC∥DF

（三）聯想法

除了以上方法，联想法也比较常用. 在解题过程中，学生需要联想题目和其他题目有没有相同的地方. 如果有，可以试着把之前题目的解法运用到待证明的题目中，当然这个联想过程是需要学生注意不同题目之间的不同点的，万不可盲目套用. 例如在解答平面几何题时，我们经常会遇到示意图复杂或无规律的情况，这就使得题目的已知条件无法与结论产生联系. 在这种情况下，可以试着添加辅助线，构造出基本图形来加强已知条件与待证结论之间的联系. 辅助线的画法因题而异，但是常用的画法并不多，因此很多题型之间存在共同之处.

1. 题干要求

如图6，已知在△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB=60°，E是AD上的一点，且有DE=DB，求证：AE=BE+BC.

2. 分析演绎

要证明一条线段等于其他两条线段长度之和，最容易想到的处理方法就是把两条线段通过各种方式移到一起，先得到两条线段的“和”，然后再证明题目中的相等关系. 而证明两条线段相等的方法比较固定，可以借助三角形的全等来证明. 因此，本题的关键就是添加辅助线并构造全等三角形.

3. 解答过程

将DC延长至F，使CF=BD，连接AF.

因为 AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB.

因为∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACF=180°，

所以∠ABD=∠ACF.

所以△ABD≌△ACF.

所以 AD=AF.

因为∠D=60°，

所以△ADF是等边三角形，

所以 AD=DF，AE=BF.

因为BE=DB=CF，

所以 AE=BE+BC.

结语

在初中数学教学的过程中，如果不讲求方法的科学性，学生解决问题就无从下手，不知怎么解答. 因此，教师一定要不断反思总结，优化自身的教学方式，坚持因材施教，追求教学的实效性，通过科学的练习引导学生自主归纳总结解题思路. 本文系统地分析了几何证明题的解题思路，列举了几种常见的几何证明解题思路与解题方法，希望能够对广大的中学教师与学生形成参考.