n阶常系数线性齐次微分方程与一阶常系数线性齐次微分方程组求解类比法

周艳华

【摘要】 n階常系数线性齐次微分方程与一阶常系数线性齐次微分方程组的求解有很多相似之处，本文给出当特征根是单根时求解的类比法.

【关键词】 特征方程;特征根;基本解组

一、基本定义及理论

定义1  n阶常系数线性齐次微分方程

y （n） +a 1y （n-1） +…+a  n-1 y′+a ny=0， （1）

其中a 1，a 2，…，a n为实常数.特别地

P（λ）=λn+a 1λ n-1 +…+a  n-1 λ+a n=0. （2）

我们称（2）为方程（1）的特征方程，它的根为特征根.

定义2  一阶常系数线性齐次微分方程组

dY dx =AY， （3）

其中A为n×n阶实常数矩阵.特别地

det（A-λE）=  a  11 -λ a  12  … a  1n a  21  a  22 -λ … a  2n … … … …a  n1  a  n2  … a  nn -λ  =0. （4）

我们也称（4）为方程（3）的特征方程，它的根为特征根.

n阶常系数线性齐次微分方程与一阶常系数线性齐次微分方程组求解有很多相似之处，我们主要讨论特征根为单根时的情况.

定理1  若特征方程（2）有n个互异的特征根λ 1，λ 2，…，λ n，则e λ 1x ，e λ 2x ，…，e λ nx 是方程（1）的一个基本解组.

定理2  方程组（3）的系数矩阵A有n个互异的特征根λ 1，λ 2，…，λ n，且v 1，v 2，…，v n是它们所对应的特征向量，则e λ 1x v 1，e λ 2x v 2，…，e λ nx v n是方程组（3）的一个基本解组.

二、两类方程解法比较

在特征根为单根的情况下，n阶常系数线性齐次微分方程可直接写出基本解组，进而写出通解.而一阶常系数线性齐次微分方程组转求其特征向量，进而写出基本解组，再写出通解，如下图：

高阶线性齐次微分方程有n个互异的特征根    

基本解组e λ 1x ，e λ 2x ，…，e λ nx      

方程通解

y=c 1e λ 1x +c 2e λ 2x +…+c ne λ nx

这里c 1，c 2，…，c n为任意常数.

一阶线性齐次微分方程组有n个互异的特征根    

这n个互异的特征根所对应特征向量分别为v 1，v 2，…，v n 

基本解组e λ 1x v 1，e λ 2x v 2，…，e λ nx v n    

方程组通解 Y=c 1e λ 1x v 1+c 2e λ 2x v 2+…+c ne λ nx v n，

这里c 1，c 2，…，c n为任意常数.

三、应 用

例1   求方程y″+6y′+8y=0的通解.

解  特征方程λ2+6λ+8=0，有特征根λ=-2或 λ= -4，

基本解组为e -2x ，e -4x ，方程通解为y=c 1e -2x +c 2e -4x ，这里c 1，c 2为任意常数.

例2   求解方程组  dx dt =-z， dy dt =x+y+z， dz dt =-x-y+3z.

解  系数矩阵A =  0 0 -11 1 1-1 -1 3  ，特征方程为

det（A -λE ）=  -λ 0 -11 1-λ 1-1 -1 3-λ  =0，

于是λ（λ-1）（λ-3）=0，从而特征根为λ 1=0，λ 2=1，λ 3=3.

设λ 1=0对应的特征向量为 u =（u 1，u 2，u 3）T，由（λE-A） u =0，

即  0 0 1-1 -1 -11 1 -3    u 1u 2u 3  =  000  ，得 u =（1，-1，0）T.同理λ 2=1对应的特征向量为 v =（v 1，v 2，v 3）T，得 v =（1，-3，-1）T.λ 3=3对应的特征向量为 w =（1，-1， -3 ）T.

方程组的通解为  x（t）y（t）z（t）  =c 1  1-10  +c 2et  1-3-1  +c 3e 3t   1-1-3  ，这里c 1，c 2，c 3为任意常数.

若为复单根，运用欧拉公式e （a+bi）x =e ax cosbx+ie ax sinbx复值解实值化即可.

例2   求方程y″+2y′+3y=0的通解.

解  特征方程λ2+2λ+3=0，有特征根λ  1，2 =-1±  2 i ，取λ 1=-1+ 2 i，e （-1+ 2 i）x =e -x cos 2 x+ie -x sin 2 x，基 本解组为e -x cos 2 x，e -x sin 2 x，

方程通解为y=c 1e -x cos 2 x+ c 2e -x sin 2 x，这里c 1，c 2为任意常数.

【参考文献】

[1]魏骏杰，潘家齐，蒋达清.常微分方程（专升本）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程：第二版[M].北京：高等教育出版社，1982.

[3]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程：第二版[M].北京：高等教育出版社，1983.