反常积分的计算技巧

谢素英

【摘要】 数学分析是大学数学类专业的重要基础课，而反常积分是数学分析中的一个重点和难点，本文针对一些含参量的反常积分给出了计算方法和技巧，总结了易混易错的关键点.

【关键词】 数学分析;反常积分;参变量;计算技巧

数学分析是大学数学类专业的一门重要基础课，其中反常积分是学生学习的难点 [1，2，3] .由于积分的反常和含参变量，使得易混易错的地方非常多，而无穷积分和瑕积分的混合积分的情况更加复杂，对教师的教学和学生的掌握带来了不小的困难.本文针对一些含参量反常积分的计算给出了分类，指出了计算方法和技巧，总结了易混易错的关键点.

数学分析（上册）给出了单变量的反常积分，即无穷积分和瑕积分，并给出了利用定义计算两类积分的基本方法，但很多反常积分用定义计算是相当困难的，甚至是不可能的.因此，针对无穷积分和瑕积分分别给出了判定其收敛和发散的各种判别法 [1，2，3] .而无穷积分和瑕积分的混合积分既要考虑无穷情况也要考虑瑕点，是反常积分中比较复杂的一类，如果混合积分中含有参数p则情况会更加复杂.针对含有参数p的一些混合积分，利用柯西判别法可以判定其收敛范围.例如，

（ⅰ）∫ +∞ 0 sinx xp dx，当0<p≤1时条件收敛，当1<p<2时绝对收敛，其他情形的p值发散.

（ⅱ）∫ +∞ 0 arctanx xp dx，∫ +∞ 0 ln（1+x） xp dx，当1<p<2时收敛，其他情形的p值发散.

对于一般的p值，即使反常积分收敛也很難计算其值，而对于一些发散的积分∫ +∞ 0 arctanx x dx和∫ +∞ 0 cosx x dx（用柯西判别法易知其发散），以及一些收敛的积分，我们也可以计算如下类型的积分

∫ +∞ 0 cosax-cosbx x dx; （1）

∫ +∞ 0 sinax-sinbx x dx; （2）

∫ +∞ 0 e -ax -e -bx  x dx; （3）

∫ +∞ 0 arctanax-arctanbx x dx. （4）

其中常数b>a>0.

利用数学分析（上册） [1，2，3] （或 [4] ）傅茹兰公式，即

∫ +∞ 0 f（ax）-f（bx） x dx=f（0）ln b a （b>0，a>0），

其中f（x）为连续函数，积分∫ +∞ A f（x） x dx，对任何A>0都收敛.我们可以计算（1）-（4）.令f（x）=cosx，它在[0，+∞）连续，f（0）=1，对A>0，∫ +∞ A cosx x dx<+∞，应用傅茹兰公式可得∫ +∞ 0 cosax-cosbx x dx=ln b a ，同理应用傅茹兰公式可得∫ +∞ 0 sinax-sinbx x dx=0，∫ +∞ 0 e -ax -e -bx  x dx=ln b a ，

但对于反常积分∫ +∞ 0 arctanax-arctanbx x dx，如果令f（x）=arctanx，尽管它在[0，+∞）连续，但对A>0， ∫ +∞ A arctanx x dx 是发散的，不满足傅茹兰公式的条件.我们可令f（x）= π 2 -arctanx，它在[0，+∞）连续，f（0）= π 2 ，利用柯西判别法易知，对A>0，∫ +∞ A  π 2 -atctanx x dx<+∞，因此，使用傅茹兰公式得到

∫ +∞ 0 arctanax-arctanbx x dx=- π 2 ln b a .

当然，傅茹兰公式仅适合计算满足傅茹兰条件的一些反常积分，或者对被积函数利用三角函数公式进行变形后满足傅茹兰条件的反常积分.例如，

∫ +∞ 0 sinaxsinbx x dx= 1 2 ∫ +∞ 0 cos（a-b）x-cos（a+b）x x = 1 2 ln  a+b a-b  ，

∫ +∞ 0 sinaxcosbx x dx= 1 2 ∫ +∞ 0 sin（a+b）x-sin（b-a）x x =0.

但对于反常积分∫ +∞ 0 ln（1+ax）-ln（1+bx） x dx，由于A>0，∫ +∞ A ln（1+x） x dx是发散的，且ln（1+x）在[0， +∞ ）上无界，傅茹兰公式不可用.

总结：综合上述，可以看出利用傅茹兰公式，被积函数的分子f（x）需要在[0，+∞）有界，且要满足傅茹兰公式的使用条件.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]陈传璋，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3]陈纪修，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999.

[4]Β.Π.吉米多维奇.数学分析习题集题解（五）[M].费定晖，周学圣，编译.济南：山东科学技术出版社，1983.