一类n阶非齐次线性微分方程特解的证明及应用*

段素芳

(青岛理工大学琴岛学院)

0 引言

目前关于二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求法主要是待定系数法.该文加以推广得出一类n阶常系数非齐次线性微分方程特解的公式及求法.

1 预备知识

二阶常系数非齐次线性微分方程为:

其中p，q，λ为常数，Pm(x)是x的一个m次多项式，即

结论1［1］设y*是二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的特解，则y*=xkQm(x)eλx其中Qm(x)与Pm(x)都是m次多项式，而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0，1，2.

2 定理及证明

由二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的特解形式，推广到n阶常系数非齐次线性微分方程

得该文结论如下:

定理 设y*是n阶常系数非齐次线性微分方程(2)的特解，则y*=xkQm(x)eλx其中Qm(x)与Pm(x)都是m次的多项式，而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的s重根依次取0，s(s=1，2，…，n).

证明n阶常系数非齐次线性微分方程(2)的特征方程为:

设方程(2)特解y*=Q(x)eλx(Q(x)是某个多项式简便书写，令Q(x)=Q)则

将y*，y*'，y*″，…，y*(n－1)，y*(n)代入方程(2)并消去 eλx整理得

由上式知Q，Q'，Q″，…，Q(n－1)，Q(n)的系数分别是特征方程(3)的0，1，2，…，n– 1，n阶导数故上式可记为［2］

(Ⅰ)若λ不是特征方程(3)的特征根

则 φ(i)(λ)≠0i=0，1，2，…，n.

所以(4)式左端Q(x)必为m次多项式，不妨设Q(x)=Qm(x)

故特解为y*=Qm(x)eλx

(Ⅱ)若λ是方程(3)的s重特征根(s=1，2，…，n)则

则 φ(λ)= φ'(λ)= … = φ(s－1)(λ)=0

而φ(s)(λ)≠0，因此Q(s)(x)必为m次多项式，

此时可令Q(x)=xsQm(x)eλx

故特解为y*=xsQm(x)eλx

综上所述，结论2得以证明.

3 举例说明

例如，求微分方程y(4)－2y‴+y″=xex的一个特解.

解:特征方程:r4－2r3+r2=0

特征根:r1=r2=0，r3=r4=1.

由题意知Pm(x)=x(m=1)，λ=1，且λ=1是特征方程的2重根，

故方程特解可设为y*=x2(ax+b)ex.且令Q(x)=x2(ax+b)=ax3+bx2

Q'(x)=3ax2+2bx，Q″(x)=6ax+2b，

Q‴(x)=6a，Q(4)(x)=0

将上面四式代入(5)式(其中n=4)

4 结束语

该文主要得出此类n阶方程y(n)+p1y(n－1)+p2y(n－2)+…+pn－1y'+pny=f(x).其中f(x)=Pm(x)eλx的特解形式为y*=xkQm(x)eλx，k按 λ不是特征方程的根、是特征方程的s重根依次取0，s.(s=1，2，…n).而当f(x)=eλx［Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx］时，(其中Pl(x)、Pn(x)分别是x的l次、n次多项式，其中一个可以为零)特解有类似的形式并且求解方法有比较系数法、拉普拉斯变换法［3］等，这里不再说明.

［1］同济大学数学系.高等数学:第六版［M］.北京:高等教育出版社，2006.341–342.

［2］邓云辉.线性常系数非齐次微分方程的特解公式［J］.数学的实践与认识，2009(5).

［3］王高雄，等.常微分方程:第二版［M］.高等教育出版社，2006.126–134.