一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法

成都信息工程学院数学学院 杜先云

绵阳师范学院数学与物理学院 任秋道

一、引入

现行《高等数学》中微分方程给出了二阶常系数非齐次线性微分方程

的解法，解的形式需要求待定多项式，过程较复杂。我们给出该类型微分方程的复数解法，方法简单，还可以减少计算量。

二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=Pm（x）eλx（λ∈C）的特解为

其中，Qm（x）是与Pm（x）同次（m次）多项式，而k要分三种情况：当λ不是特征方程的根、是特征方程的单根及是特征方程的二重根时，k分别取0、1 及2。

二、复数的解法

讨论下列二阶常系数非齐次线性微分方程：

或

或

的解，其中，p，q，α，β∈R，Ol（x），On（x）及Pm（x）分别为l，n及m次实系数多项式。

定理：方程（2）与（3）的解分别是复数方程y''+py'+qy=Pm（x）eλx的解的实部和虚部，它们的特解分别是

的实部和虚部，特解的共同形式：

其中，Qm（x）是m次复系数多项式，且当λ=α+βi不是特征方程的根与是特征方程的根时，k分别取0 及1。

方程（2）的解y1＊=Rey=xkeαx[Qu（x）cosβx-Qv（x）sinβx]，方程（3）的解y2＊=Imy=xkeαx[Qu（x）sinβx+Qv（x）cosβx]，它们有共通形式：y=xkeαx[cosβxRm（x）+sinβxSm（x）]。

推论：方程（4）的特解为y＊=Re[xkeλxQl（x）xk]+Im[xkeλxQn（x）]=xkeαx[cosβxRm（x）+sinβxSm（x）]，其中，Ql（x）与Qn（x）分别是l与n次复系数多项式，Rm（x）与Sm（x）是m（m=max{l，n}）次实系数多项式，当λ=α+βi不是特征方程的根与是特征方程的单根时，k分别取0 及1。

其中，Rm（x）与Sm（x）是m（m=max{l，n}）次实系数多项式，而当λ=α+βi不是特征方程的根与是特征方程的根时，k分别取0 及1。