面向数学文化的大学文科数学教学设计

杨丽平

【摘要】 数学是一种文化.数学不仅具有工具属性，还具有文化属性.本文从文科学生的特点分析了数学文化对大学文科数学教学的意义和作用，并从传播数学文化的角度，以“定积分概念”为例，从教学内容分析、教学目标设计、教学方法设计和教学过程设计等方面进行了教学设计.

【关键词】 数学文化;文科数学;教学设计

自1983年南开大学在部分文科专业中开设数学课程以来 [1] ，国内许多高校相继开设了大学文科数学等课程.经过三十多年的探索和实践，大学文科数学教育已取得了巨大成就.实践已表明：在大学文科专业中开设数学课程对于培养文科生的数学意识和提升文科生的数学素养有着重要的作用.然而，与理工科数学相比，文科数学还比较年轻，还存在诸多问题，如对数学价值认识不明、学习兴趣不浓、教学方式不足、学习方法不当、教学内容不适等 [2] .近年来，数学文化这一概念引起了国内外专家学者的广泛关注.数学文化观认为，数学是一种文化.数学不仅具有工具属性，还具有文化属性 [3] .因此，数学教育理应承担起传授数学知识和传播数学文化的双重责任.特别是文科学生有着与理工科学生显著不同的数学基础、专业背景、学习需求和认知特点，则对于文科学生而言，“了解数学文化，增进理性思维”要比“掌握数学工具”更加重要 [4] .

一、数学文化对大学文科数学教育的意义

数学文化概念虽提出有三十多年，但至今没有统一的定义.顾沛教授认为：数学文化的解释有狭义和广义之分，狭义的数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展;广义的数学文化是指除狭义解释外，还包含数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系 [5] .王新民等人认为：数学文化是指人类在数学行为活动的过程中所创造的物质产品和精神产品，物质产品是指数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等知识性成分;而精神产品是指数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念性成分.在数学文化中，观念性成分即数学观念是数学文化的核心，它可以从精神层面上来影响人们的信念、行为和价值观 [6] .

日本著名数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一书中说道：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，就忘掉了.然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，随时随地产生作用，使他们终身受益.”对于大学文科学生而言，亦是如此.首先，文科学生中大部分学生的数学基础较差，对数学缺乏学习兴趣，甚至畏惧数学.其次，文科类专业对数学知识要求不高，掌握数学知识的多与少、深与浅，不会对后续学习产生直接影响.第三，文科学生在未来所从事的工作中用到大学数学知识的机会很少，甚至部分学生根本就没有机会用大学数学知识去解决生活和工作中的问题.第四，文科学生擅长感性认识和形象思维，但理性认识和逻辑思维相对较弱，对具体的、直观的事物认识较强，对抽象的、逻辑的概念理解较弱.以上这些特点决定了在大学文科数学教学中传播数学文化要比单纯地传授数学知识有意義得多.

除此之外，在大学文科数学教学中传播数学文化还具有以下作用：

1.有助于提高文科学生对数学及其价值的认识.文科学生通常对数学的科学价值认识较为充分，但对数学所具有的社会价值知之甚少.通过数学与文化的融合，可以使他们了解数学在人类文明进步和社会文化发展中的作用，提高他们对数学的价值，特别是社会价值的认识.

2.有助于培养文科学生学习数学的兴趣.数学文化让学生面对的不再是枯燥的计算和复杂的推导，而是丰富而有趣的数学思想、数学精神、数学思维、数学方法、数学趣闻、数学美以及数学应用等文化成分，可以使文科学生更好地感受数学的魅力，激发他们学习数学的兴趣.

3.有助于提高文科学生的数学素养.传统的数学教学观将学生的视野局限于数学知识.将数学文化融入教学，可以拓展文科学生的数学视野，培养他们用数学的眼光看世界的意识，提高他们用数学思维分析问题和解决问题的能力.

二、“定积分概念”的教学设计

（一）教学内容分析

定积分是大学文科数学的重要内容之一.定积分概念是学习定积分的基础，是数学、物理等有关问题高度抽象的 结果.除定积分的定义外，本节还蕴含了以下数学文化的内容：

1.数学史.定积分起源于计算面积和体积等实际问题，演化于穷竭法（The method of exhaustion）.古希腊智人学派学者安提丰（Antiphon）在解决“化圆为方”的问题上最早表述了“穷竭法”;欧多克索斯（Eudoxus）发展建立了严谨的穷竭法，并计算了圆、圆锥和棱锥的体积;欧几里得（Euclid）在《几何原本》第Ⅻ篇中运用穷竭法证明了命题2，5，10，11，12，18;阿基米德（Archimedes）运用穷竭法计算了椭球体、旋转抛物体等几何体的体积以及一些阿基米德螺线所包围的面积.16世纪至17世纪的数学家们认识到穷竭法在逻辑上的优美，增长了纯计算的兴趣，并从修改阿基米德的穷竭法开始，获得了计算面积、体积以及物体重心等的新方法，他们的探索推动了穷竭法向积分的发展，其中开普勒、费马、格雷戈里、卡瓦列里、瓦利斯等人都做出了巨大贡献.直到牛顿和莱布尼兹创立了微积分，穷竭法才被根本地修改，演化成了定积分.今天，穷竭法已成为历史名词.

2.数学思想.定积分的概念与性质中蕴含着丰富的数学思想和方法.如曲边梯形面积求解问题、变速直线运动路程求解问题都蕴含了以直代曲、以常代变，将未知转化为已知的化归思想;定积分定义的导出过程蕴含了从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思想;以及用近似代替精确的思想方法;用极限求解无限的思想方法;以及量变引起质变、用局部认识整体的辩证思想等.

3.数学应用.定积分的产生和发展从未离开过应用.定 积分起源于计算面积、体积等实际问题，广泛应用于几何学、物理学、经济学、计算机科学以及工农业生产、工程技术等领域.典型的例子如几何学中的曲边梯形的面积问题、旋转体的体积问题、物理学中变速直线运动的路程问题等.

4.数学美.定积分用一个简单的公式形象直观地描述了“大化小，常代变，近似和，取极限”的过程，充分展现出了数学的形式美和简洁美.

（二）教学目标设计

1.知识与技能：了解定积分的定义过程，能用自己的语言描述曲边梯形的面积和变速直线运动的路程求解思路;理解定积分的概念，能用自己的语言描述定积分的定义以及公式中各部分的名称和含义;理解定积分的几何意义，能用定积分表示平面图形的面积.

2.文化与素养：了解定积分的起源、发展过程及其应用;体会以直代曲、以常代变、将未知转化为已知的化归思想;体会从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思想;体会量变引起质变、用局部认识整体的辩证思想等;体会定积分公式展现出的数学美.

（三）教学重点与难点

1.重点：曲边梯形面积求解过程和变速直线运动路程求解过程及蕴含的将未知转化为已知的化归思想;定积分的定义过程及蕴含的从具体到抽象的归纳思想;定积分的几何意义及数形结合思想方法.

2.难点：理解曲边梯形面积求解过程和变速直线运动路程求解过程;理解以直代曲、以常代变、将未知转化为已 知的化归思想;理解从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思想.

（四）教学方法设计

本节主要采用启发式、探究式教学方法.定积分是一个新的概念，但其定义建立在极限基础上，可以通过极限方法导出.因此，在教学过程中，可以引导学生积极思考，调动学生学习的积极性，培养学生分析问题、解决问题的能力.

（五）教学过程设计

1.概述.概述主要介绍定积分产生的过程、思想来源以及应用领域，重点阐述“穷竭法”思想，为第三步分析问题做好思路上的铺垫.

2.提出问题，導入新课.定积分的概念来源于计算面积和体积等实际问题.以曲边梯形面积问题为例导入新课，不仅能带领学生“穿越时空”回到古希腊时代，追寻定积分的“足迹”，为探究式教学创设情境，还有助于引发学生的好奇心，激发学习兴趣，引导学生思考.

3.引导探究，解决问题.从方法论的角度讲，定积分在概念形成过程中体现出的“以直代曲”“以常代变”“将未知转化为已知”的化归思想要比定积分概念本身重要得多.因此，在此过程中，要注意引导学生进行探究，充分体会数学的化归思想.首先引导学生对“曲边梯形面积问题”进行探究，提炼出“大化小，常代变，近似和，取极限”思路，并将思维过程表示为

A= lim   λ→0  ∑ n  i=1  f（ξ i）Δx i. （1）

然后再提出“变速直线运动路程问题”，启发学生利用类比方法，按照曲边梯形面 积问题的解题思路，再次提炼出“大化小，常代变，近似和，取极限”思路，并将思维过程表示为

S= lim   λ→0  ∑ n  i=1  v（τ i）Δt i. （2）

在分析过程中，注意让学生体会量变与质变、局部与整体之间的辩证关系.

4.启发归纳，提炼定义.首先启发学生对上述两个问题及其结果进行比较分析，引导学生“透过现象看本质”，去除两个问题的具体情境和意义，抽取共同特征：（1）问题相同，均是“非均匀分布总量问题”;（2）思路相同，均为“大化小，常代变，近似和，取极限”;（3）结果相同，表达式结构一致.然后引导学生抽象出定积分的定义及其表达式为

∫b af（x）dx= lim   λ→0  ∑ n  i=1  f（ξ i）Δx i. （3）

再引导学生回到曲边梯形面积问题，结合图形讨论定积分的几何意义.

在此过程中，可以让学生充分体会从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思想.

5.讨论练习，提升能力.练习的目的是让学生充分理解定积分的定义，理解“大化小，常代变，近似和，取极限”的思维过程.如，

∫1 0x2dx= lim   λ→0  ∑ n  i=1  ξ2 iΔx i= lim   n→∞  ∑ n  i=1    i n  2 1 n

= lim   n→∞   1 6  1+ 1 n   2+ 1 n  = 1 3 .

解题的难点在于根据定义写出表达式  lim   λ→0  ∑ n  i=1  ξ2 iΔx i，关键在于“大化小”，即积分区间的分割方式.定义中虽对积分区间的分割结果有明确要求（即最大分割区间λ→0），但并没有给出具体的分割方式（“任意插入若干个分点”）.因此，要引导学生采用等分方式进行分割，在分析过程中，注意让学生体会一般与特殊的辩证关系.

6.总结.引导学生回顾总结从两个实际问题导出定积分定义和应用定积分定义分析解题的过程，将“大化小，常代变，近似和，取极限”解题思路升华到“以直代曲”“以常代变”“将未知转化为已知”的化归思想，将定积分定义的导出过程升华到“从特殊到一般”“从具体到抽象”的归纳思想，将定义导出到例题求解升华到“实践上升到理论，理论指导实践”的哲学思想.

三、结 语

数学知识与数学文化不是一分为二的，而是相互融合、相互渗透的，只有找到二者的最佳契合点，恰如其分地融合在一起，才能充分发挥数学文化的作用.就如苟长义所说：“数学文化在教学中不是点缀的，而是整体的;不是附着的， 而是有机的;不是铺天盖地的，而是恰如其分的;不是牵强附会的，而是水到渠成的;不是长篇大论的，而是画龙点睛的.” [7]

【参考文献】

[1]顾沛，戴瑛，温媛.借助现代信息技术手段促进数学文化融入“大学文科数学”的教改[J].大学数学，2010（2）：1-6.

[2]何穗，胡典顺，李书刚.大学文科数学教学的现状与对策[J].数学教育学报，2013（1）：47-50.

[3]张永新.大学文科数学教学目标的双重性及教学对策[J].乐山师范学院学报，2012（11）：34-35，97.

[4]顾沛.培养学生形象思维、逻辑思维、辩证思维的相辅相成——兼谈“大学文科数学”的教学改革[J].中国大学教学，2010（3）：31-35.

[5]顾沛.数学文化课与大学生文化素质教育[J].中国大学教学，2007（4）：6-7.

[6]王新民，马岷兴.新课程中“数学文化”的涵义诠释[J].教学和管理，2006（27）：97-98.

[7]苟长义，顾沛.以数学文化的融入改进文科数学教学[J].数学教育学报，2008（6）：5-7.