用特征根法求数列通项公式

刘大鹏

(辽宁省黑山县第一高级中学 121400)

本文用特征根法解决已知a1,a2,an+2=aan+1+ban，求数列通项公式型问题.

1 特征方程及特征根的定义

定义方程x2-ax-b=0叫做递推公式an+2=aan+1+ban的特征方程，其根叫做特征根.

证明(用第二数学归纳法)

(1)当n=1时，a1=c1x1+c2x2结论成立.

当n=k+1时，

ak+1=aak+bak-1

综上，结论对一切自然数n都成立.

解析特征方程为x2-2x-3=0，

解得x1=-1,x2=3.

所以an=c1(-1)n+c23n.

例2 (2006年福建文22)已知数列{an}，a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,n∈N*，求{an}的通项公式.

解析特征方程x2-3x+2=0的根为x1=1,x2=2.

所以an=c1+c22n.

解得c1=-1,c2=1.

所以an=-1+2n.

证明(1)当n=1时，a1=(c1+c2)x0结论成立.

ak+1=aak+bak-1

综上，结论对一切自然数n都成立.

例3 (2008年天津文20)数列{an}中，a1=1,a2=2,an+1-an=q(an-an-1),(n≥2,q≠0)，求{an}的通项公式.

解析特征方程x2-(q+1)x+q=0的根为x1=1,x2=q.

①当q=1时，an=(c1+c2n),

所以an=n.

②当q≠1时，an=c1+c2qn,

定理3 若特征方程有两个共轭虚根

x1=r(cosθ+isinθ),x2=r(cosθ-isinθ)，

则an=rn(c1cosnθ+c2sinnθ)，

证明见文[2].

例4 (自编新题)已知数列{an}，a1=1,a2=3,an+2=2an+1-4an,n∈N*，求{an}的通项公式.

解析特征方程x2-2x+4=0的根为