高中数学分析思想在数学解答中的应用

刘淇

摘 要：在高中数学解答之前，数学分析有着极其重要的作用。数学分析包括分析提意、分析思路、分析方法、分析结果等。事实上，数学是一门用数学符号表示出来的找关系、寻规律的学科，而找关系、寻规律离不开数学分析的思想。高中数学不同于小学和初中，它要求学生可以主观能动地学习，独立地思考，自主地分析和解决问题。如何将数学分析思想应用于高中数学解答中，是当前高中数学教学的重中之重。

关键词：数学分析；数学解答；高中；数学教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1005-5312（2016）35-0266-02

一、高中数学分析思想的内涵

（一）数学审题思想

审题是数学解答的第一步，对答题至关重要。认真审题能够让学生对题目中的已知条件和所求问题有一个全面的认知。学生通过审题了解题意，并对题中已知条件进行细致的研究和分析。通过对问题的分析，为问题的解答奠定基础。在数学解答时，学生能否掌握题目的关键因素在于审题能力。审题能力强的学生可以充分理解题意，通过将复杂的已知条件进行系统地归纳整理，发现隐性条件，从而快速、准确地解决问题。

示例：sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=2/3，求tgα*tgβ的值。

本题已知条件是两个等式，表面看来与所求的tgα和tgβ之间没有直接联系。但是通过仔细审题与细致分析，综合以前所学三角函数关系推演与转换，可以很快地推演出已知条件与所求之解之间的联系。即通过转换tgα*tgβ的乘积形式为相除形式进行求解。可见通过对本例的分析，可以发现审题能力的增强可以帮助学生对已知条件和所求之解进行深入地挖掘。

（二）合理应用知识、方法解决问题的思想

高中数学可以分为3大类。第一类为数学基础知识，包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；第二类为数学思想（数学分析思想），包括函数与方程、数形结合、函数、等价转化和分类讨论等；第三类为数学方法，包括待定系数法、数学归纳法、换元法、反证法、配方法等。要解决高中数学的一些基本问题，必须理解和掌握数学基本知识、数学思想和数学方法。这些是高中数学分析思想的依据，是数学解答的重中之重。在数学解答时，必须对题意作出合理的分析，合理地选择数学知识、思想和方法，迅速、顺畅地解决问题。

数学分析中常用的方法包括举一反三法、一题多解法和比较归纳法。先说举一反三法，课本中的例题，往往是最具代表性的例题，突出教学的重点。我们在分析和解答了例题之后，应该注重发挥例题以点带面的功能，尝试从条件不变问题变和问题不变条件变等方面来综合分析问题，以达到举一反三的目的，提高数学分析能力。再说一题多解法，即通过不同的思路，融合不同的思想来求解多方面考虑一个问题，不断分析找出最佳解法。最后说比较归纳法，即在数学分析时，从不同角度比较相互关联的概念，将同一类问题归类分析，不同类问题比较分析，从而提高数学分析的高效性和准确性，准确地进行数学解答。

（三）注重整体思维

严格地说，整体思维不是一种思维，而是一种技巧，一种手段。作为一种技巧，整体思维决定着数学分析和问题解决的情况，作为一种手段，它可以提高数学解题速度。整体思维的核心是整体处理，整体处理就是在处理问题时，充分利用整体与部分的关系，通过整体运算，整体代入，整体消元，整体合并等方法，简化问题解答。

示例：已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆斜率为且过右焦点的直线与椭圆相交于、两点，且与共线。

求：（I）椭圆的离心率；

（II）设为椭圆上任意一点，求证：为定值。

本题考查的基本知识包括直线方程、平面向量和椭圆的几何性质，充分体现了整体思维是数学分析思想的重要组成部分，是数学解答的关键。如果不能将直线方程、平面向量和椭圆的几何性质综合考虑分析，就能准确快速地对本题作出解答。

（四）数学建模的思想

数学建模是根据题目的表述建立数学模型，并用反证法或数学归纳法等方法证明模型的准确性，最后根据建立的数学模型对求出数学问题的最优解。学生分析和解决问题的能力决定着数学建模的能力。高中学生，特别是高三学生面临高考的压力，所以在培养学习能力时，不仅要完善学生的数学能力，更重要的是对数学能力的实际应用，这对于高考来说是至关重要的。数学建模思想可以为学生提供核心有效的数学解答的思想。因此，在培养高中学生数学分析能力时，必须重视其数学建模能力。

示例：冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

本题首先考察学生的文字转化能力。读懂题意之后，学生的数学建模能力是正确解答本题的关键。只有正确建立冷轧机工作模型，才能更好地理解题意，正确地分析问题，准确地求解问题。因此，数学建模能力不仅是分析和解决实

际应用问题的重要途径和核心， 而且是数学分析和数学解答过程中不可或缺部分。

二、数学分析思想与高中数学解答的联系

数学分析是根据中学数学基础形成的一些概念。当前数学分析中的一些重点，如导数、积分、无穷级数的收敛等都是根据中学数学的一些基础知识演变而来。一些中学代数和几何无法解决的问题可以运用数学分析有效地解决出来。从这一点看来，数学分析是为了解决中学数学不能解决的问题而逐渐发展起来的一门学科。由此可见，数学分析思想早已根深蒂固地融入高中数学教学。因此，在进行数学解答时，提前的数学分析是至关重要的。

数学分析对函数性质的研究是在实数范围内进行的。通常情况下，实数一般分为有理数和无理数两种。但是中学数学无法回答，或者说中学学生无法理解无理数的一些问题。在中学数学解答过程中，函数是比较重要的内容，高中数学主要研究函数的一些简单性质和概念图像，讨论的内容也仅仅局限于函数的定义域、值域、交点和极值等。在数学分析中，利用微积分去研究函数的解答是一个简单易行的方法。事实上，数学分析源于高中数学解答。对于高中生而言，在数学解答过程中，会出现诸如函数、无理数等一些无法简单理解的问题，这就需要数学分析来进行论证，并推演出通用的、合情合理的解决方案。

三、如何将数学分析思想应用于数学解答

（一）重视基础知识， 重视领悟、概括和提炼常见的数学分析思想和方法

扎实的基础知识是数学分析和数学解答的关键，是提高思维水平和数学能力的关键。在数学知识发生、发展和应用过程中，离不开数学分析思想的支持中。事实上，数学分析思想是一种数学意识，用来认识、处理和解决数学问题。在数学解答过程中，数学解答的方法主要体现于数学分析思想，它可以决定解题的手段，具有模式化和易操作的特性。高中学生在数学解答时，需要综合运用所学知识，认真领悟、概括并提炼某一数学思想，通过分析得出最有解决方法，这就是数学分析思想在数学解答中的应用。对于高中学生而言，只有掌握扎实的数学基础知识，灵活的数学基本技能，弄清知识系统内在的联系，才能具备优秀的数学分析思想和数学分析能力。只有在数学分析时将各知识体系之间的交叉、渗透综合起来，才能在数学解答时灵活自如地运用数学分析思想，准确地概括和提炼题意，得心应手地解答问题。

（二）加强对知识的综合分析与应用，提高数学解题时运用知识模式化的能力

高中数学解答是充满模式的。只有合理地运用知识和模式，才能合理地提高高中学生分析问题和解决问题的能力。事实上，情境的创设有利于学生更好地理解和应用数学定义、公式、定理和性质等，对加固学生的数学基础有着至关重要的作用。在学生对数学定义、公式和性质有了一定了解之后，再引入适当地综合提型来巩固和强化学生的基础知识，提高其数学分析能力，提高其数学解答的准确性，加快其数学解答速度。在数学解答过程中，通过利用数学分析的方法，学生能够自主地总结、归纳各种题型的解题模式。只有这样，学生才有能力在数学解答过程中有的放矢，合理运用所学的数学思想和方法去解决各种数学问题。

（三）进行开放题和新型题的训练， 开拓学生知识面

在数学解答之前，只有分析清楚所要解答的问题属于哪一种类型，才能快速准确地作出解答。但是，实际中往往会出现一些让学生根本摸不着边的题型。出现这个问题的根本原因在于学生缺乏创新能力。事实上，学生创新能力的培养离不开新颖、灵活的问题模式，离不开多角度、多方位地思考问题。只有这样，才能分析出合理解决问题的方法。换句话说，创新能力决定着学生分析问题和解决问题的能力。为了提高高中学生的创新能力，老师可以在教学过程中选择适量的开放题和新型题进行训练，这对于避免学生避免学生在数学解答时按照已学的某种固定模式去套、去思考或者按照形成的某种特定思维去分析，甚至束手无策，拓展学生知识面，牢固数学基础，增强学生分析问题和解决问题地能力有着至关重要的作用。

（四）重视对问题的回顾，增强创新意识和创造意识

数学解答过程包括审题、分析题意、分析思路。在分析解决方案时，我们需要运用所学知识建立数学模型，合理推理并得出结论，最后再回顾和反思前面环节是否出现差错。各个环节之间相互链接，环环相扣。数学解答的最终目的不单纯是对于结果的追求，更重要的是提高学生分析和解决问题的能力，增强学生的创新精神和创造意识，这些恰恰需要通过回顾和反思问题来实现。因此，在数学解答过程中，重视分析回顾所求问题，对增强创新意识和创造意识至关重要。

新课改下，高中数学体系更注重对学生思考和探索能力的培养。不断思考可以加深学生更好地理解所学知识，勤于探索则可以培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。一个学生思考和探索能力的提高，在某种意义上可以提高其归纳和分析问题的能力。对于常见例题，如果学生可以在老师讲解之前发表自己的想法和解题技巧，那么这个学生就具备了宝贵的思考和探索能力，在数学解答时，可以凭借这项能力很快地进行数学分析，得出最优的结果。事实上，高中数学解答离不开数学分析，而思考与探索正是数学分析的重要组成部分。

重视培养学生概括、归纳数学解题方法的能力

数学分析思想在数学学习和数学解答过程中起着至关重要的作用。毫不夸张的说，数学分析思想在数学解答过程中比数学基础知识占有更重要的比重，它代表着学生解答问题的思路和意识，贯穿于数学学习，数学解答的整个过程。培养学生数学分析思想的关键之一在于培养学生概括，归纳数学解题方法的能力，只有具备这种能力，学生才能更好地认识、分析和解答问题。总之，学会概括和归纳自己所学的数学解答之法，才能在数学分析时对各种数学方法运用自如，不仅对于数学解答有着巨大帮助，也会让学生在以后的学习中受益匪浅。

参考文献：

[1]何金红.新课标下高中数学教材分析研究[D].武汉：华中师范大学，2012.

[2]陆祥丽.高中数学思想方法的课程分析与教学实践[D].成都：四川师范大学，2014.