高等代数与空间解析几何的优化教学

2018-02-03刘海琴

数学学习与研究 2018年1期

刘海琴

【摘要】本文简单叙述了高等代数和空间解析几何两门课程存在的相互关系，结合两者内容上的相互关联点，着重分析了如何优化两者的教学，并结合实例予以佐证.

【关键词】高等代数；空间解析几何；优化教学

高等代数和空间解析几何，是本科数学相关专业的两大专业基础课程.前者的主要内容是多项式理论、矩阵理论、向量空间和线性变换理论；而后者的主要内容是向量代数、空间直线和平面、常见曲面、坐标变换、二次曲线方程的化简等.一般学校的课程安排都是两门课同时进行或者空间解析几何在高等代数开始一个学期后相继开设.由于两门课程的内容中有一部分是有直接关联的，相应的空间解析几何中的相关内容是对高等代数知识的具体几何支撑.因此，最近几年有一些“对两门课程实行一体化教学”的建议，也有一部分学校开始实施相应的改革，将这两门课程合并为一门课程，所用的教材有：陈志杰的《高等代数与解析几何》、孟道骥的《高等代数与解析几何》等.

一、实行一体化教学的优缺点

高等代数是研究线性空间以及在线性空间基础上的线性变换的学科.课程中大量的公式及定理、推论的推导证明采用严格的演绎论证方法，特点是抽象程度高、逻辑性强.学生在学习知识点时，很难深刻理解其中的抽象概念和复杂结论，学习效率不高.相反，若将这些理论与空间解析几何的知识相关联，利用几何直观方法，把抽象的问题形象化[1].学生结合直观的形象对抽象内容加以理解，可以更好地理解概念，发现研究思路，有效开展推理、猜想，直至问题解决.因此，在具体教学中采用几何直观与演绎论证相结合的方法，一来是学生学好高等代数的需要，再者对培养学生分析问题的能力和养成科学的思维品质都具有十分重要的意义.事实上，高等代数为空间解析几何提供研究方法，而空间解析几何为高等代数提供直观几何背景.一些学校之所以将两门课程合为一门课程也就是出于以上原因，在这两门课程中有一部分知识点是相互关联的，如果能够将两门课程适当结合起来，或者在两门课程的讲授过程中让知识点相互融会贯通、相辅相成，对于学生对两门课程的掌握都大有益处[2].

但是，将两门课程合为一门课程，大家也一直在探讨.因为所谓的一体化教学，不能仅仅是对现有的两门课程的简单的合并、修改，而是在整个理论体系下优化课程体系，整合教学内容.同时，进行一体化教学也有弊端存在.首先，在教学过程中可能会侧重于高等代数知识的理论讲解，而将几何知识仅仅作为对代数知识的理论解释，因此，就不会形成一个完整的几何知识体系.其次，进行一体化教学后，如果将课时长改为两门课程的课时长之和会略显拖沓，学生在第一年时会有两门这样的课程（另外一门是数学分析），导致教学效果不好.最后，进行一体化教学，还要求授课教师对两门课程的知识体系相当熟识且能做到融会贯通，一定程度上会加大教师备课的负担.那么，在现有的情况下，我们需要权衡一体化教学下两门课程的轻重，要想办法来对两门课程进行更好的协调，以促进教学.

二、一体化教学过程中如何优化教学

“翻转课堂”（Flipped Classroom），此教学理念最早出现在19世纪，是由General Silvanus Thayer在教学中所总结的一套方法.具体指的是：在课前学生学习教师提前发放的资料，课堂上用来批判性思考，并结合小组协作的方式解决问题，这是翻转课堂的雏形[5].

所谓“翻转课堂”，实质上是对传统的教师讲授、学生接受的模式进行了翻转.学生可以在课前学习教师提前提供的学习资料，而课堂时间用于学习讨论，小组协作解决问题.如果将高等代数和空间解析几何两门课程进行合并教学，为了提高学生的学习效率，达到预期的教学目的，可以将“翻转课堂”的这一教学理念应用于教学中.鉴于两门课程的一些内容是相辅相成的，在学习的过程中教师可以先对高等代数中的理论知识进行讲解，让学生对相应的知识体系得以系统地掌握.随后将相对应的空间解析几何中的那部分内容留给学生自己学习，让学生分组课下讨论，通过对高等代数知识的应用理解，找到两门课程的结合点.用高等代数的理论知识去解释几何中的问题，在此过程中，一方面，学生理解了代数中枯燥的理論知识，另一方面，也更好地学习了这些理论知识在几何中的直观的应用背景.

下面本文从一个实例出发讨论一下如何进行具体的教学.

高等代数中，向量的线性相关性也是一个相对较抽象、较难理解的知识点.但是，在解析几何这门课程中却有相应知识点与之对应，因此，可以在进行两个相应的知识点的教学过程中相互穿插，实现两者互补[7].例如，在空间解析几何的第二章内容中，空间直角坐标系中讲到三个向量共面的充要条件时，有如下定理：ai={Xi，Yi，Zi}（i=1，2，3）共面的充要条件是X1Y1Z1X2Y2Z2X3Y3Z3=0.在讲到这一知识点的时候就可以与高等代数中向量的线性相关性以及行列式相关内容相关联.因为空间解析几何中的所谓三个向量等价于代数内容中的“三个向量线性相关”.而在判断向量的线性相关性的时候一个重要的办法就是看关于λ1，λ2，λ3的齐次线性方程组（如下）是否有非零解.

X1λ1+X2λ2+X3λ3=0，Y1λ1+Y2λ2+Y3λ3=0，Z1λ1+Z2λ2+Z3λ3=0.

依据线性方程组解的理论，可知上述方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零，即

X1Y1Z1X2Y2Z2X3Y3Z3=0.

在进行这部分内容的教学时，如果能够在各自的知识点中相互穿插，就能让学生更直观地理解所学内容，使得本来抽象程度高、逻辑性强的高等代数知识有了更为直观的解释，也使得相应的几何知识有了丰富的理论背景.为此可以先讲授向量的线性相关知识，然后将几何中相应的向量的内容的学习任务留给学生，让学生带着任务去学习.实现课堂的翻转，让学生的被动接受成为主动学习.

三、一体化教学之外的优化教学的建议

目前，由于实际教学过程中，实现两门课程的一体化教学是一个需要探究的过程.因此，在没有高效率地更好地实现一体化教学的阶段，也应该采取积极的措施更好地促进两门课程的教学.可以从如下方面入手.

第一，尽量在同一时间段开设两门课程，让两门课程在课堂讲授环节相互衔接.例如，可以将空间解析几何与高等代数下册安排在同一个学期，因为高等代数上册内容与空间解析几何相互交叉的知识点相对较少，而且易于理解.

第二，两门课程的任课教师要进行更多的知识交流，让每一门课程的任课教师都要对两门课程相应的知识点融会贯通.然后在此基础上，要做到在教学中相互渗透，更好地帮助学生理解所学知识.

第三，两门课程的任课教师相互协作，早日实现两门课程的更系统更完整的一体化教学.作为空间解析几何的任课教师，可以在授课过程中转换角色，改变以往的教师为主的严肃无趣的数学课堂模式，让学生成为课堂的主角；让学生的被动接受学习转换为主动探索学习.

【参考文献】

[1]杜丽萍，王宏，佟玉霞.解析几何与高等代数相互渗透的教学研究[J].数学学习与研究，2011（3）：11-12.

[2]杨德贵.高等代数与解析几何一体化教学改革的探索[J].贵州师范大学学报（自然科学版），2005（4）：97-100.

[3]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京：高等教育出版社，2000.

[4]郭民，孔凡哲.高等代数与解析几何课程整合的思考[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2007（5）：135-138.

[5]毛建耀，符丽珍，张肇炽.关于“高等代数”教学改革的综述与思考[J].数学教育学报，1995（3）：49-80.

[6]王元金，陈萍清.关于高等代数与解析几何分与合的几个问题[J].辽宁师范大学学报（自然科学版），2001（1）：105-109.