高等代数教学的几点思考

张新建

摘 要： 本文针对高等代数课程概念多、内容抽象等特点，探讨提高本学科的教学质量和学生的学习效率的方法.

关键词： 高等代数 线性相关 多项式

高等代数作为初等代数的发展和提高，是数学专业的一门必修基础课，它所介绍的理论、方法广泛应用于各个学科与实际问题中，其内容较多地体现着数学中严密的逻辑推理方法和计算方法，是现代数学的基础，在培养学生抽象思维和逻辑推理能力等方面发挥着非常重要的作用.但由于高等代数课程概念多，内容抽象，思维方式独特，与初等数学的思维习惯差距较大，刚入学的新生常常不能适应，而且一般的教材中例题较少，初学者常常感到困难，如何提高教师的教学质量和学生的学习效率，成为师生共同探讨的问题.下面我就几年来高等代数的教学谈谈体会.

1.教师应发挥绪论课的重要性

现在的理科生在高中阶段已经接触了高等代数的部分内容，比如二阶行列式和二阶矩阵，联系学生已学知识，教师在高等代数绪论课上介绍行列式和矩阵产生的背景，让学生明白高等代数要解决的问题及其主要的思想方法.初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面研究二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可转化为二次的方程组.沿着这两个方向继续发展，讨论任意多个未知数的一次方程组（即线性方程组）的同时还研究次数更高的一元方程，发展到这个阶段，就叫做高等代数.行列式和矩阵也是在解线性方程组时引入的工具；在绪论课上，教师要向学生介绍高等代数这门课程的性质与后续课程的关系，指出高等代数是有志从事中学数学教学的学生将来胜任中学主干学科——代数课教学的理论基础和指导，也是学生将来参加研究生考试的必考科目.从而使学生认识到：学好高等代数是将来工作和深造的需要，这样可以使学生萌发对高等代数的初级兴趣，进而为提高教学质量打下基础.

2.对于抽象概念的教学，做到深入浅出

线性代数是高等代数中的重点内容之一，而“线性”这个数学名词在中学数学课程中从未出现，学生刚进入大学，对这一词汇的具体内容知之甚少.所以在学习之前，学生必须对什么是“线性”有所了解.首先以线性方程组为例让学生对线性这个词有初步印象，然后从线性运算、线性空间等概念提炼出“线性”的特点，加深学生对“线性”的印象.线性相关性是高等代数的重点和难点，所涉及的内容包括行列式、矩阵、线性方程组，并为向量组的极大无关组及向量组的基和维数、齐次线性方程组的基础解系奠定了基础，也是学习线性空间、线性变换和欧氏空间的一个重要工具.此部分的学习对学生来说内容抽象，是一个难点.根据以前的讲授经验，很多同学对于线性相关性概念中的不全为0理解不清晰，常常与线性组合的概念混淆.事实上，将这两个概念与齐次和非齐次方程组联系，如齐次线性方程组

3.教师充分备课，使课堂教学生动有趣

针对每次课的特点，选取合适的教学方法，在讲授抽象概念时适时引入此概念的研究背景，同时穿插一些名家的数学小故事.很多同学认为理论内容在实际中没有多大应用，因此偶尔引入数学建模思想，让学生感受到数学在生活中有很多应用.例如，在学习了矩阵和线性方程组的有关知识后可以引入简单供求模型、简单国民收入模型等线性经济模型，让学生接触一些简单的实际问题，树立理论联系实际的思想和初步分析解决实际问题的能力，而且让他们切实体会到学习高等代数是有用的，可培养他们在以后的学习和工作中主动应用数学工具分析和解决专业中实际问题的意识和能力.

4.在课堂中让学生充分参与

多年的传统数学教学通常以讲授为主，忽视了学生的主动参与性.鉴于此，教师在讲解高等代数中的概念时，一定要着重揭示其含义和实质，注重联系中学教学实际，使学生掌握基本的系统的高等代数知识和高等代数方法，从而提高学生对高等代数知识的理解.对于相关定理和结论，建议学生多方面考虑，带着问题学习.例如多项式中两个最大公因式的存在性定理：对于任意的，在中一定存在一个最大公因式，且可表示成的一个组合，讲授此定理时，建议学生考虑此定理的逆命题是否成立？若不成立，需要加什么条件才可以成立？

比如在讲授可逆矩阵的定义的时候，因为学生中学里学过此定义：若方阵，则称可逆，又因为矩阵的乘法一般不满足交换律，建议学生考虑要是这个定义中去掉一半，只有或者，能不能得到可逆呢？再例如矩阵的乘法一般不满足交换律，建议学生探讨在什么情况下的矩阵是可交换的？帮助学生设问，建议学生在自己学习的时候类似考虑问题，让学生主动参与到学习中，学生是学习的主体，只有充分调动学生的积极性和主动参与性，才能从根本上提高学生的学习效率.

当然，提高高等代数的教学质量和学生的学习效率的方法很多，以上只是一些粗浅的做法，教和学如何适应新时期的要求与时俱进，有待教师和学生不断探索和改进.

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].5版.北京：高等教育出版社，1988.

[2]王勇.高等代数教学的一些探讨.广西民族大学学报（自然科学版），2007，13（4）：93-95.

[3]王林，赵云河.高等代数教学中实施研究型教学的思考与实践，29（4），2013：44-47.

基金项目：国家自然科学基金（GrantN.11501235），江苏省自然科学基金（No.BK20140451），江苏省博士后基金（No.1302068C）.