高等数学课堂引入数值计算的必要性

宋妮+王鹏+闫春苗

【摘要】本文通过具体例子分析了在高等数学课堂上引入数值计算的必要性，突出了Matlab在图像处理、数值计算等方面的优势和特点，其直观性、趣味性和简便性进一步提升了学生对高等数学的兴趣和创新能力，对传统方式的教学是非常有效的辅助手段.

【关键词】Matlab；图像处理；数值计算

【基金项目】中北大学理学院教改项目.

高等数学是高校理工科学生的基础课程和工具课程之一，绝大部分高校采取的基本是以教师为中心的教学模式，由教师通过讲授和板书，把教学内容传授给学生.在整个教学过程中，教师是主宰，学生则处于被动接受教师灌输知识的地位，互动性较差或者基本不互动，学生对有些内容感到抽象、枯燥且难以理解，从而导致了学生的积极性下降.这就要求教师改变传统的教学模式，引入新的教学手段激发学生的兴趣，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，真正实现课堂上的互动.

如今，数学软件的发展已非常成熟，国外大量课程都已采用数学软件来进行分析和计算，而国内的普及程度则不是很高.在科技快速发展的今天，高等数学课程不仅要培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、基本运算能力，还应注重培养学生的数学建模能力与数值计算能力（包括数据处理能力），学会用数学方法初步解决实际问题，会用计算机进行一定的科学计算.因此，将数值计算引入高等数学课程就显得尤为重要，学生在课堂上通过对数值计算的认识、熟悉、使用，进一步达到理论和实践相统一.

本文将借助于數学软件，对高等数学中的某些抽象理论进行数值计算与可视化，加强学生对抽象理论的理解以及对数学软件的使用，从而增强师生之间的互动性，提高学生的学习兴趣.

一、图像——抽象问题具体化

图像是Matlab中一个很重要的功能，而在高等数学中，多元函数的图形大多抽象，不容易给出，例如，不能显化的隐函数、二维图形的极坐标图形、参数方程图形，三维图形、三维图形的变化及多个三维图形的相互关系等，给教与学带来不便.若调用Matlab中绘图函数来完成各类图形的绘制，使得抽象思维变得直观具体，更便于学生理解和接受.

求导计算中有两类很重要的函数，一类是幂指函数，利用对数求导法或等价变形对其求导数；另一类是隐函数，利用复合函数求导法则进行计算，但对于这两类函数的图像，我们研究的很少或基本不研究，原因之一在于这两类函数无法用基本初等函数的图像去表示，而数值计算很好地解决了这一问题.

例1 作幂指函数y=xsinx（x>0）的图像.

解 在Matlab中调用命令：

x=1：0.1：25；y=x^sin（x）；plot（x，y）；

xlabel（′x′）；ylabel（′y′）；grid on

运行结果如图1所示，从图中学生可以直观地看到函数的性质、变化规律和极值点以及极值，不再停留在想象的层面.

图1 y=xsinx（x>0）的图像

例2 不能显化的隐函数y5+2y-x-3x7=0的图像.

解 在Matlab中调用命令：

ezplot（′y^5+2*y-x-3.*x^7′=0）；grid on

运行结果如图2所示，从图中可以看出该隐函数是单调递增的奇函数，关于原点对称，一目了然，使学生更好地理解隐函数的特点.

图2 y5+2y-x-3x7=0的图像

在学习向量与空间解析几何、三重积分和曲面积分这些内容时，学生经常会感到很抽象，因为我们的教材中显示的都是平面图形，学生很难建立空间图形的概念，通过在课堂上引入Matlab，可以非常直观地建立三维空间的函数图形，培养学生的立体感.

例3 作二元函数z=sinx2+y2的图像.

解 在Matlab中调用命令：

x=-10：0.2：10；[X，Y]=meshgrid（x）；r=sqrt（X^2+Y^2）+eps；Z=sin（r）；meshc（X，Y，Z）

其中，meshc（X，Y，Z）表示曲面xOy面上的等高线即投影，如图3所示.其中，图3（a）表示曲面的三维立体图，图3（b）是其等高线图.通过图像和方程相结合，学生能够更好地加深对二次曲面的理解，使抽象问题更具体化.

进一步地，在课堂上逐步引入数值计算，可以解决很多图形的抽象问题，提高学生对高等数学的兴趣和积极性，不再局限于全理论性的教学模式.

（a）

（b）

图3 z=sinx2+y2的图像

二、辅助计算——复杂问题简单化

数值计算是Matlab的又一重要功能，高等数学中的极限、导数、积分等内容，方法多、公式多，有些情况下计算量也较大，学生在做题的时候从数字到数字、公式到公式，经常会感到烦琐、枯燥，且容易出错.如，若学生清楚算法原理和计算过程，则可通过Matlab完成算法实现，作为检验答案的辅助手段，整个过程效率高、用时短、更直观.

例4 计算∫sinxsin2xsin3xdx.

解 这是有关三角函数的积分问题，要计算该积分，需利用三次积化和差公式，过程非常麻烦，而在Matlab中调用命令：

syms x，y；y=int（sin（x）.*sin（2*x）.*sin（3*x））；

就可轻松得到结果：

y=（8*tan（x/2）^4*（9*tan（x/2）^4-14*tan（x/2）^2+9））/（3*（tan（x/2）^2+1）^6）

对学生而言，三重积分和曲面积分一直是高等数学的难点，其一是学生对立体区域的作图感到抽象、困难，无从下手；其二是找不到正确的投影区域，而在课堂上利用Matlab就能够使得问题由抽象变具体，复杂变简单.endprint

例5 计算I=S（xy+yz+zx）dS，其中S为z=x2+y2被柱面x2+y2=2ax（a>0）截得的部分.

解 （1）畫出积分曲面图，在Matlab中调用命令：

[x，z]=meshgrid（0：0.1：2，0：0.05：2）；y1=sqrt（2.*x-x.^2）；y2=-sqrt（2.*x-x.^2）；surf（x，y1，z）；

hold on surf（x，y2，z） [x，y]=meshgrid（-2：0.1：2）；z=sqrt（x.^2+y.^2）；mesh（x，y，z）

xlabel（′x′）；ylabel（′y′）；zlabel（′z′）；

运行结果如图4所示，从图中可直观地看出截得部分在xOy面上的投影区域仍是圆域，进一步利用极坐标将曲面积分转化为二重积分去计算.

图4 所截部分的图像

（2）计算积分值：

syms x y r t a；z=sqrt（x^2+y^2）；zx=diff（z，′x′）；zy=diff（z，′y′）；dS=sqrt（1+zx^2+zy^2）；

f=x*y+（y+x）*sqrt（x^2+y^2）*dS；x=r*cos（t）；y=r*sin（t）；F=subs（f）；

r1=0；r2=2*a*cos（t）；t1=-pi/2；t2=pi/2；f1=int（F*r，r，r1，r2）；I=int（f1，t，t1，t2）

运行结果为：

I=（64*2^（1/2）*a^4）/15

即I=S（xy+yz+zx）dS=64152a4.

三、结束语

利用Matlab的强大功能，学生可以借助较传统的编程语言（如C、C++和Fortran）实现图像、极限、积分等运算，既激发了学生的学习热情，也有利于提高学生的创造性思维，同时对于问题的直观性和几何性，更便于学生理解和接受，使学生真正成为学习的主体.

【参考文献】

[1]郭科.数学实验[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]陈怀琛.大学理工科要把“科学计算能力”当作一个重要培养目标[J].中国大学教学，2005（9）：17-19.

[3]赵亚男，牛言涛.MATLAB在解析几何教学中的应用[J].长春大学学报，2011（4）：54-58.

[4]夏静，卜华龙.MATLAB辅助高等数学教学方法初探[J].巢湖学院学报，2012（6）：132-134.endprint