浅谈不定积分的计算方法与技巧

张智

【摘要】不定积分是微积分学中的重要内容之一，也是高职学生学习的难点之一.为了帮助学生更好地学习掌握这一知识，本文对不定积分的计算提出几种解题思路，并结合实际例题加以说明.

【关键词】不定积分；凑微分法；分部积分法

不定积分是微积分学中的一个重要内容，它对学生学好后续的知识起着至关重要的作用.目前，高职数学教学过程中普遍存在课时少、任务重、学生学习习惯不好的情况，学生在不定积分的学习过程中，往往感觉抽象、难懂、枯燥，对积分的各种计算方法更是茫然不知所措，这在很大程度上影响了他们对数学学习的兴趣和积极性.针对这种现象，笔者就凑微分法（第一类换元积分法）和分部积分法的使用，通过举例的方式谈谈自己的教学体会.

一、凑微分法

（一）抓出“障碍物”求微分

例1 ∫（2x+1）8dx.

解 原式=∫（2x+1）8·12·d（2x+1）

=12∫（2x+1）8d（2x+1），

令u=2x+1

12∫u8du=118u9+C 回代 118（2x+1）9+C.

根据不定积分基本公式表中第2个公式——∫xμdx=xμ+1μ+1+C（μ≠1），容易知道∫x8dx=19x9+C，对照例题发现2x+1这个被积函数就是影响我们直接套用公式的“障碍物”，就需要把它抓出来求微分，运用微分的定义dy=y′dx计算后找出12，乘进去，等式前后才成立，接下来应用凑微分法求不定积分的步骤及基本公式就可完成解答.

其他类似的问题，比如，对照公式∫exdx=ex+C，∫e100xdx式子中的100x；对照公式∫sinxdx=-cosx+C，∫sin（3x-2）dx式子中的3x-2；对照公式∫1xdx=ln|x|+C（x≠0），∫1ax+bdx（a，b为实数，且a≠0）式子中的ax+b.这些都是影响我们套用公式计算的“障碍物”，在这里都要分别把它们找出来求微分，找出能让等式成立的常量，接下来按常规步骤都能完成计算.

（二）重新包装求微分

例2 ∫xsin（x2+1）dx.

解 原式=∫sin（x2+1）·xdx

=∫sin（x2+1）·12d（x2+1），

令u=x2+1

12∫sinudu=12（-cosu）+C

回代 -12cos（x2+1）+C.

因为xdx=12d（x2+1），将xdx项换成另一种形式，即换成12d（x2+1），接下来就可以按部就班地完成该题的求解过程.

二、分部积分法

（一）直接用公式求解

例3 ∫lnxdx.

解 原式=xlnx-∫xd（lnx）=xlnx-∫x·1xdx

=xlnx-∫dx=xlnx-x+C.

对应分部积分公式∫udv=uv-∫vdu，这里u=lnx，v=x，套用公式可完成解答.

（二）重新包裝成∫udv的样式，用公式求解

例4 ∫xexdx.

解 原式=∫xd（ex）=xex-∫exdx=xex-ex+C.

弄清u，v很重要，公式中dv的v是原来函数通过微分的知识变形后得出的.此题中exdx=d（ex），这样就可以套用公式∫udv=uv-∫vdu，这里u=x，v=ex，很容易完成解答.

例5 ∫x3lnxdx.

解 原式=∫lnxd14x4=14x4lnx-∫14x4d（lnx）

=14x4lnx-14∫x3dx=14x4lnx-116x4+C.

这里x3dx=d14x4，u=lnx，v=14x4，接下来套用公式就能完成计算.式子中出现的被积函数，要挑出一个函数做出变形.做出变形的先后顺序为：指数函数（如，ex）、三角函数（如，sinx，cosx）、幂函数（如，x，x2，x3，…）、对数函数（如，lnx）、反三角函数.

不定积分的计算灵活性很强，在教学过程中，教师需要引导学生多练习、多思考、多接触不同积分的求法，才能更好地让他们掌握不同积分的解题套路，从而达到运用自如的目的.endprint