一元函数的定积分计算
2018-02-03李聪郭豆豆
李聪+郭豆豆
【摘要】微积分是高等数学学习的重要内容，一元函数积分计算对学生思维的发展以及后继课程的学习有重要的作用.本文讨论了一元函数定积分的计算方法，其中主要涉及了换元积分法和分部积分法，同时分类讨论了有理函数、三角函数以及简单无理函数的积分问题，并介绍了积分上限函数的导数、牛顿-莱布尼茨公式、反常積分等理论.
【关键词】一元函数；积分计算；换元积分；分部积分
不定积分和定积分是数学积分学领域的两大基本问题.计算不定积分是求导的逆运算，计算定积分是计算某种特殊和式的极限.下面我们主要介绍定积分的计算方法.
一、换元积分法
在已经了解到求解很多函数的相应原函数都需要借助换元法或者分部积分法，所以，换元积分法以及分部积分法对定积分运算也是十分重要的.定理：如果有f（x）在闭区间[a，b]上具有连续性；x=φ（t）在闭区间[a，b]上可导，且导数连续不变号；函数x=φ（t）的值随t在闭区间[α，β]上的改变而改变，并且φ（α）=a，φ（β）=b，于是可得∫baf（x）dx=∫βαf[φ′（t）]dt.在应用如上定理计算定积分时，一定要注意x=φ（t）需要满足的条件，改变积分变量时要记得改变积分上下限，然后再计算新变量积分的值.
例1 计算定积分∫21x-1xdx.
解 做变换x-1=t，那么有x=1+t2，dx=2tdt.当x取1时，t=0；当x取2时，t=1.所以原式=∫102tdt1+t2=2∫101-11+t2dt=2（t-arctant）|10=21-π4.
二、分部积分法
设函数u=u（x）和函数v=v（x）都在闭区间[a，b]上可导，且导数连续，于是根据微分法则d（uv）=vdu+udv，变形可得udv=d（uv）-vdu，两边同时在闭区间[a，b]上积分有∫baudv=（uv）|ba-∫bavdu，如上所述式子即为定积分的分部积分公式，这里的a，b分别是x的下限和上限.
例2 计算定积分∫e1lnxdx.
解 令u=lnx，dv=dx，于是原式=[xlnx]|e1-∫e1xdxx=（e-0）-（e-1）=1.
三、有理函数定积分
有理函数定积分问题和有理函数不定积分问题往往联系十分紧密，求解方法也类似.
例3 计算∫π412dxx4（1+x2）.
解 对被积函数进行适当拆分可得：
原式=∫π4121x4dx-∫π4121x2dx+∫π4121x2+1dx
=-13x3π412+1xπ412+arctanxπ412
=-643π2+4π-arctan12+53.
四、三角函数定积分
三角函数定积分求解问题，可以像求解三角函数不定积分问题那样，借助万能代换tanx2将问题简单化.
例4 计算定积分∫2π3π2（1+sinx）dxsinx（1+cosx）.
解 令t=tanx2，则原式=∫3112t+2+1tdt=12t22+2t+ln|t|31=ln3+43-24.
五、积分上限函数的导数
设函数f（x）是定义在闭区间[a，b]上的连续函数，令x∈[a，b]，考虑定积分∫xaf（x）dx=∫xaf（t）dt.若上限x在闭区间[a，b]上随意改变，那么对任意一个确定的x，都有一个定积分值与之对应，因为它在闭区间[a，b]上确定了一个函数，记为Φ（x）=∫xaf（t）dt，叫作积分上限函数.积分上限函数具有如下性质：设函数f（x）是定义在闭区间[a，b]上的连续函数，则积分上限函数Φ（x）=∫xaf（t）dt在闭区间[a，b]上可导，导数是Φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x），a≤x≤b，利用该性质可以简化某些极限问题.
六、牛顿-莱布尼茨积分法
牛顿-莱布尼茨公式完美地将定积分与不定积分结合在一起.利用该公式，能够借助不定积分运算求解定积分问题.牛顿-莱布尼茨公式要求函数f（x）在闭区间[a，b]一定要具有连续性.不定积分与定积分原本是两个互相独立的存在，然而如果有连续做前提，这两者是可以被联系到一起的，这不仅在很大程度上方便了定积分运算，也从理论的角度为微分和积分架起了桥梁，这在整个数学分析发展历史上都具有十分重要的意义.
七、反常积分
计算较简单的反常积分时，应该首先考虑利用反常积分的定义，解题步骤大致可归纳为两步：首先，计算定积分∫Aaf（x）dx=F（x）；然后，求极限limA→+∞∫Aaf（x）dx=limA→+∞F（A）.
【参考文献】
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[3]董云.浅谈可积分一元函数的不定积分的解法[J].华夏星火，2005（Z1）：67-68.
[4]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.endprint
