为直观插上想象的翅膀，为逻辑镶上思辨的光芒

胡吉蔚

[摘 要] 主要阐述笔者在进行《直线与平面垂直的定义及其判定》一课的教学设计中教材、学情及目标分析和教学过程的实施中的各个环节遇到的困惑及采取的对策. 在整个教学环节完成后，笔者也对教学实践效果进行了反思.

[关键词] 立体几何；空间位置关系；直观想象能力；逻辑推理能力

一个数学老师的课堂从哪里开始？从上课铃打响的时刻吗？笔者想不是，一节课的序幕拉开应该是从翻开教材备课的那一刻开始的. 今天笔者要与大家分享的是在“直线与平面垂直的定义及其判定”这一课的整个环节中的困惑与突破.

教材、学情及目标分析时的困惑与突破

1. 教材内容分析及地位分析

本内容是苏教版教材必修2“第一章1.2.3直线与平面的位置关系”第二小节内容，紧跟在直线与平面平行的判定定理与性质定理之后，主要内容涉及直线与平面垂直的定义及判定.

直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况. 该内容既是空间中直线与直线位置关系的三维延伸，又是平面与平面垂直的依托基础、是直线与平面所成角概念的形成基础. 因此它是直线与直线（共面、异面）垂直与平面与平面垂直的连接枢纽. 通过这一知识点的学习，学生可以进行下图所示的转换.

2. 课标分析

课标要求教学中从学生常见几何体如长方体、圆锥等学生熟知的几何体出发，揭示空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对空间图形的观察、实验、操作和思辨，让学生了解平行、垂直关系的基本性质及判定方法. 线面平行、垂直关系的判定定理只要求直观感知、操作确认，在此基础上解决一些简单的推理论证及应用问题.

3. 学情分析

从纵向分析，学生初中在平面几何中已学过共面条件下直线与直线垂直的判定方法，进入立体几何学习阶段后又学习了异面直线垂直的判定方法；从横向分析，学生已学习了与本课内容结构类似的直线与平面平行的定义、判定定理、性质定理，初步感受立体几何中观察、操作、总结归纳、推理论证的过程，形成了一定的空间想象能力，初步具有合情推理与逻辑推理的意识，并具备一定的图形语言、符號语言、文字语言三种语言之间相互转换的能力.

4. 学习目标分析

（1）知识与技能

通过观察教具模型，抽象概括出直线与平面垂直的定义并进行理解.

通过观察、操作、归纳出直线与平面垂直的判定定理并能进行简单应用.

（2）过程与方法

从实际背景出发，在探索直线与平面垂直的定义、判定定理过程中，进一步提升空间想象能力、合情推理能力、逻辑推理能力.

加深对转化思想的认识，进一步熟练将空间问题转化为平面问题来解决.

（3）情感态度与价值观

在探究的过程中体会数学与实际生活的联系，体验操作成功的乐趣，克服对空间问题的畏惧感，增强数学学习的兴趣与信心.

5. 重难点分析

（1）重点：直线与平面垂直的定义与判定定理.

（2）难点：直线与平面垂直定义的抽象，直线与平面判定定理的概括，直线与平面判定定理的应用. ？摇？摇？摇？摇？摇

6. 分析过程中的困惑及突破

困惑1：现实生活中，直线与平面垂直的模型比比皆是，然而从直观可见的“实”，？摇如何化为数学抽象的“虚”？这两者之间的转化是对学生的挑战. 如何才能让这一难点既顺利突破，又符合情理？

困惑2：直线与平面垂直的定义：如果一条直线l和平面α内的任何一条直线都垂直，我们称这条直线l和这个平面α互相垂直.

直线与平面判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

从定义到判定定理，最大的一个变化是从“任意一条直线”到“两条”“相交”直线. 这其中的数量关系发生了变化，位置关系发生了变化. 我该如何引导学生去发现这样的变化？

困惑3：课标中线面垂直判定定理只要求直观感知、操作确认，而立体几何知识模块则是培养学生逻辑推理论证能力的重要环节，这两者之间可能产生的矛盾、冲突如何顺利化解？如何能合理地将直观感知、操作确认与严密的逻辑表述与推理论证合理地统一起来？

突破策略1：我将直观可见的“实”上升为数学抽象的“虚”分成两个台阶. 第一阶，先从直观可见的“实”转换为数学语言的“虚”；第二阶，从数学语言的“虚”转换为数学抽象的“虚”. 也就是先引导学生将实际生活中“旗杆与地面的位置关系”等模型转换为数学语言中的直线与平面垂直，再引导学生学会用数学中直线与直线垂直去描述直线与平面的位置关系.

？摇突破策略2：“任意”与“存在”是高中数学中非常重要的两个量词. 这里，我想借助直线与平面平行判定定理，采用类比推理的方式引导学生从定义向判定定理转化.

？摇突破策略3：直观感知、操作确认是学生认知现实世界的重要方式，而逻辑推理、思辨论证是认知数学世界的重要方式. 这两者并不矛盾，而是数学学习过程的因与果. 因此我决定，在大量的直观感知、操作确认的基础上去发展学生的逻辑推理、思辨论证能力.

7. 教具选择

学生自备学具：直角三角形纸片、斜三角形纸片、作图工具.

教师教具：圆锥模型（标出两条母线、高，底面标出多条半径），塑料长棍（代表直线），？摇三角板（板书作图用），PPT课件.

课堂实践：困惑与突破的战斗

1. 执行突破策略1

直观可见的“实”→数学语言的“虚”→数学抽象的“虚”.

师：空间直线与平面有哪些位置关系？

生：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交.

师：你们能在现实世界中找到相应的模型吗？endprint

（学生七嘴八舌地开始说起来，有说教室里的电灯与地面是平行的，有说窗棱的，非常热烈.）

笔者抓取了其中两个实例作为代表：①教室后方本期黑板报中有黄色线条元素，于是有个同学说黄色的线斜着，延长后与地面相交；②有个同学说，实物投影仪立在讲台上.

师：这两个生活模型都能表示直线和平面相交吗？它们有没有不一样的地方呢？

生：黄色的线和地面是斜着的，而投影仪是直的.

师：那你们能用数学的语言表述一下何为“投影仪是直的”吗？

生：（举出这个实例的同学立刻站了起来）就是直线和平面是垂直的.

师：（将他的话板书在黑板上）说得很好. 在现实生活中，给我们这样一种视觉感受的现象就是我们数学中要研究的直线与平面垂直，这就是本节课要研究的目标.

（至此，本节课的主题已经引入，并且突破1中的第一阶也已经完成.）

师：那什么是数学中的直线和平面垂直呢？我们不能总是用生活中的实例来解释这个位置关系，我们该如何用数学的语言去表达这样的位置关系呢？

（此时，下面鸦雀无声，学生确实难以实现从直观印象到抽象定义的突破.）

實验1：

师：（等待片刻后）请同学们拿出直角三角形纸片，以一条直角边为轴旋转.你认识旋转得到的几何体吗？

生：是一个圆锥.

师：你能感知轴和圆锥底面的位置关系吗？

生：轴和底面是垂直的.

师：（追问）从刚才旋转的过程中，大家现在知道如何去描述直线与平面垂直吗？

生：在旋转的过程中，轴和底面所在的那条直角边始终是垂直的. 我想，应该是直线要和底面里的每一条直线垂直才叫直线和底面垂直.

师：（举起手中的圆锥模型，停顿，留给其他同学思考的时间）同学们认为这位同学说得有道理吗？

（这时，突然有同学打断了笔者的话，要求举例. 她说，操场的旗杆在太阳照射的时候旗杆和每一时刻的影子都是垂直的，因此旗杆和地面也是垂直的.笔者给予了这位同学表扬.）

【设计意图】 通过实验、操作，感受直线与平面垂直的形象直观，同时自然将直线与平面垂直的模型降维至直线与直线垂直.

实验1结束，到此刻为止，策略1中的突破难点的“两部曲”已经基本演奏结束，并取得了预期的效果.

难点突破后，师生再修饰语言，明确定义：如果一条直线l和平面α内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫作垂足.

此处教师说明定义①一条直线垂直于平面内任意一条直线，则这条直线与该平面垂直，符号表示为l⊥aa？奂α？圯l⊥α；②一条直线垂直于一个平面，是指这条直线垂直于这个平面内的任何直线，符号表示为l⊥αa？奂α？圯l⊥a. 另外，教师明确作图方法，即通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 规范作图如图1所示.

【辨析1】 判断下列说法是否正确：

（1）一条直线与平面内无数条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直；

（2）一条直线与平面不垂直，那么这条直线与平面内任一条直线都不垂直.

【设计意图】 辨析（1），如图2，突出“无数”与“任意”的冲突；辨析（2），是命题与否命题之间的联系，引导学生学会改变条件、变换条件与结论，或对条件与结论进行全部或部分否定进行辨析. 通过两个辨析题，引导学生画出反例的图，从而进一步深化对定义的理解，同时为判定的辨析作铺垫.

2. 执行突破策略2

师：请同学们观察我们的教室，请问，教室的墙缝所在直线与地面所在平面垂直吗？

生：（异口同声）垂直.

师：你是怎么判断的？你有没有判断竖着的墙缝所在直线和地面所在平面内的每一条线都垂直呢？

（学生再一次安静下来，因为他们得到垂直的结论还是基于自己的直观感受，并没有经过定义的检验.）

生：（一个学生举手）老师，其实我们不用去判断每一条，我觉得只要墙缝和地面那两条垂直的缝垂直就可以了.

师：你能把条件叙述清晰一点吗？

生：竖着的墙缝和下面两条地缝垂直，而且两条地缝也要相互垂直，那么竖着的墙缝和地面是垂直的.

生：同学们同意她的观点吗？（有同学点头，有同学摇头）下面我们要一起来做一个实验.

实验2：

师：请同学们将三角形纸片ABC（如图3）过其顶点A与BC上一点D翻折，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，CD与桌面接触，如图4）.

（1）？摇观察折痕与桌面的位置关系；

（2）你能折出AD与桌面所在平面垂直吗？

师：请同学们回顾前面的过程，回答下面的几个问题：

（3）在△ABC中，AD与BD，CD的关系？BD与CD的关系？

（4）翻折后，AD与BD，CD的关系变化没有？由此你能得到什么结论？

（5）你在实验中得到的结论和刚才墙缝地面问题中得到的结论一致吗？

【设计意图】 引发学生的认知冲突，因为利用定义判断就会涉及“任意”这一无限的问题，让学生觉得不方便，从而激起寻找更间接方法的需求. 同时将无限减少到有限，再到不可再减的过程转换为不妨从1条开始增加一直到足够数目为止.

问题（3）（4）引导学生对操作过程进行回顾总结，进行合情推理得到正确结论. 在合情推理的同时，利用说理让学生感受逻辑推理的成分，从而不降低学生的思维水平.

在实验结束后，大多数同学在两条相交直线上达成了一致，但是在平面内两条相交直线是否需要垂直又产生了争论. 因此笔者引导学生继续用旋转实验的方法，得出正确结论，同时验证判定定理与定义的一致.endprint

师：请同学们用图形语言、文字语言、符号语言将上述结论完整表述出来.

下面教师引导学生让学生自主进行梳理、归纳概括，并用文字语言、符号语言、图形语言表达直线与平面垂直的判定定理.

直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

【辨析2】 判断下列说法是否正确：

（1）如图7，如果一条直线l与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面. 这种说法是否正确？为什么？

（2）如果一条直线与平面内无数多条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

【设计意图】 强化定理中“两条”“相交”的条件，达到与练习1中辨析相同的意图.

3. 执行突破策略3

例1：如图8，有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A挂一条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）C，D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6 m.

（1）证明旗杆和地面垂直；

（2）求AB与CD所成的角.

【设计意图】 （1）利用勾股定理得到线线垂直，再由判定定理得到线面垂直. 体会空间问题向平面问题转化. （2）是定义的运用. 解决问题过程中，注意书写的规范性.

练习：如图9，在三棱柱V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC.

【设计意图】 选用常见几何体——三棱锥. 本题思路是线线垂直、线面垂直、线线垂直，让学生体会这两者关系的相互转化.

教学反思

1. 成功之处

（1）本设计首先从生活实践出发，寻找线面垂直的实际模型，在课堂上引导学生积极发现生活中的数学. 同时用实验的方法引导学生从学生可见的、熟悉的圆锥体入手，成功突破了从直观形象的垂直到严格定义的垂直这一难点.

（2）折纸实验过程中，很多学生能立刻发现如果折痕是三角形底边的高时，折痕就会与桌面垂直，但并不能清晰地说出直线与平面垂直的条件，主要是因为没能发现三角形纸片沿高对折后，原来的垂直关系不发生改变. 此处安排了一个问题串，将学生的目光聚焦到有效垂直关系上去，从而能理清条件与结论.

（3）在定义与判定定理出现后，都安排了辨析. 命题的出现要伴之以辨析，通过削弱命题的条件，互换或部分呼唤命题的条件与结论的位置等方法，对命题进行辨析有利于学生对原命题的理解，同时也教给学生如何去研究命题.

2. 值得改进的地方

课标中不要求对直线与平面垂直判定定理的证明，只要求操作确认并概括出判定定理即可. 但是逻辑证明不要求，并不代表学生的思维水平可以降低. 因此，此处如何在操作過程中进行引导，使得学生既能感受合情推理的魅力，又能体会逻辑推理的严谨，细节之处该如何处理，仍是值得推敲的地方.endprint