回归基础教材，重构知识体系

郭新河

[摘 要] 正、余弦定理是高中数学的重要内容，具有外在的整体性和内在的联系性，对于定理的理解要从教材的概念原理出发，在理解定理本质的基础上进行思维的拓展，笔者整理了正、余弦定理的教学复习课，从定理的证明入手，开展典题讲评并总结了相关教学反思，与大家交流探讨.

[关键词] 正弦定理；余弦定理；联系性

高中的复习课要注意回归课本，注重教材内容的精讲精练，对于定理要从基础证明开始，结合高考真题进行讲评. 数学知识是系统联系的，教学的讲授也应该注重之间的联系，让学生构建完整的知识体系，形成良好的认知，为解决数学的综合问题打下基础.

教学目标与重难点

1. 教学目标

（1）理解正弦定理和余弦定理的证法，掌握正、余弦定理实现三角形边角之间的转化.

（2）根据不同的条件，灵活运用正、余弦定理解决三角形的相关问题.

（3）通过三角函数和正、余弦定理等知识联系事物之间的一般联系与辩证统一关系.

2. 教学重难点

重点：可以综合三角函数和正、余弦定理解决三角形的相关问题.

难点：可以合理地选用正、余弦定理，优化求解过程，并可以解决三角形多解问题.

教学片段与赏析

1. 回归课本，唤醒知识

例题：将一根长度为30 cm的木棒锯成两段，分别作为一钝角三角形ABC的两条边AB和BC，并且∠ABC=120°，怎样锯木条才可以使△ABC的周长达到最小？

师：请同学们讲解一下自己的解题思路.

生：为使△ABC的周长达到最小，可使AC边最短即可. 设AB的边为x，则BC为30-x，根据余弦定理可表示AC=，0

设计意图：上述例题是教材的经典练习题，是余弦定理解决实际问题的例子，通过知识的回顾重新温习余弦定理，加深理解，为深入学习做铺垫.

2. 推陈出新，定理重证

师：很好，考虑得很充分，正弦定理就此可以证明了.

（2）余弦定理

师：关于余弦定理的证明方法有很多，常用的有向量法、构造外接圆法、通用法，请同学们尝试证明.

3. 典例讲评，应用感悟

例题：在△ABC中，它的内角所对的边分别为a，b，c，现已知a=bcosC+csinB.

（1）求B的值；

（2）如果b=2，求△ABC的最大面积.

预设解答：（1）根据已知，由正弦定理可知sinA=sinBcosC+sinC·sinB ①.

又由A=π-（B+C），所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②.

由①②以及C∈（0，π），可得sinB=cosB.又因为B∈（0，π），所以有B=.

（2）可知△ABC的面积为S=acsinB=ac，根据已知以及余弦定理可知4=a2+c2-2accos. 又有a2+c2≥2ac，所以ac≤（当且仅当a=c时，等号成立）. 因此，△ABC的最大面积为+1.

设计意图：使学生加深对知识的理解，促使学生使用已有的知识和经验去解决实际问题，达到融会贯通的境界，有利于学生形成相应的知识规律. 同时让学生理解正弦定理和余弦定理并不是独立的，解题时的综合使用更加便利，形成自己连贯的思维.

4. 对接高考，思路扩展

（2015年高考安徽卷）设F1，F2分别为椭圆E：+（a>b>0）上的左、右焦点，经过点F1的直线相交椭圆E于A，B两点，且AF1=3BF1.

（1）如果AB=4，△ABF的周长为16，求解AF2；

（2）如果cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率.

设计意图：高考题是很多优秀专家和教师的集体智慧的结晶，有很高学习价值，通过对高考题的探讨学习，可以拓展学生的思维，提高学生的理解能力.

教学立意的深入思考

1. 调动学生的积极性，体现课堂的数学美

课改后的课堂应该是探究活动式的课堂，让学生充分参与其中，发挥学生的主观能动性，让知识在活动探究中生成. 对于定理的证明，要让学生充分地理解，发散思维，不拘泥于固定的形式，在合作交流中进行思想的拓展，增加学生的学习兴趣. 数学教学要渗透数学思想，课程设计要主题明确，思路清晰，体现数学的简约之美；要让新旧知识交融碰撞，体现数学的连贯美；定理证明要科学合理，体现数学的理性美；教师授课要语言丰富，体现数学的文字美. 让学生在课堂中真切地感受到数学的魅力，才能使学生积极主动地去学习数学、学好数学.

2. 适时回归教材，寻求最真数学

每节课的内容都应该从教材本身的概念定理作为出发点，然后用数学的思想和方法将知识串联起来，对于问题的探讨要寻求教材的最真知识，从概念出发进行思考解决，尤其对于高三的复习课，必须重视教材，然后在解题策略上高于课本. 学习的过程不是模仿的过程，渗透数学真理的数学活动才是有价值的教学活动，以问题为背景，开展实践讨论，交流合作，最终做出理性的分析总结，让学生体验思想淬炼的过程，品析数学多样的味道，感受数学本源的气息，主动地去探求数学的真谛，这才是中学教学的内涵.

写在最后

注重知识的联系性，引导学生进行深层次的思考，领悟数学方法，提升数学内涵，这是对中学课堂教学的要求. 在高中复习课中，不仅要让学生知道定理的“果”，更要让学生明白其中的“因”，灵活地结合教材内容，让学生在深刻理解定理本质的基础上发散思维.