一道初中数学综合题的不同解法分析

江月

摘要：数学是一门较为灵活的学科，在数学综合题的计算中，常有许多不同的切入点，能够进行一题多解。在初中时期培養学生这种一题多解的数学思想与解题能力能够有效的提高学生对于数学知识的探究欲望，在加强学生学习兴趣的同时获得学生思维的开阔与不同知识点的综合利用。本文以一道初中数学综合题的不同解法探讨在初中时期，如何在解题思维上对学生进行加强培养。

关键词：初中数学；一题多解；数学思想

初中时期的学生对于数学的理解较为浅显，许多学生认为一种题目只有一种解法，只要记住类型题，就能够在考场上获得较高的分数，但结果往往事与愿违。以下是一道初中数学的综合题，在解题中可以采用许多不同的方法，学生在不同切入点中能够找到不同的解题思维。通过该例子探讨如何在数学题中形成多样化的思维，如何培养学生形成一题多解的思想，并探讨如何在初中时期提高学生不同方向的解题能力。

一、通过全等三角形性质进行解题

在这道例题中，求证的的是两条线段的相等，因此结合学过的全等三角形性质可以进行解答，而题目中没有与三角形DCF全等的另一个三角形，因此教师需要在此时引导学生学会做一个新的全等三角形，通过辅助线的方式证明线段全等。该题的解法在于可在图中以点E为出发点，做一条平行于AB，且与AF的延长线相交的直线，将相交直线的交点设为点H。此时便能够将线段DF与FE之间的关系转化为三角形DCF与三角形EHF的关系。由于EH平行于AB，因此EF平行与DC，且BE平行与AF，因此四边形ABEH为平行四边形，所以AB等于HE。另外，FH与DC被同一条直线AH穿过，因此根据两直线平行，内错角相等的原理可以证明∠DCF等于∠EHF，同理，DE也穿过了相互平行的直线DC与FH，所以，∠CDF等于∠HEF。通过三角形两角一夹边相等的定理，能够证明三角形DCF与三角形EHF全等，所以能够证明DF等于FE。在本题的解法中，应用了三角形两角一夹边相等的原理，教师可以通过这一图形引导学生提出更多不同的想法，在该三角形中，除了两个由平行线形成的相等内错角，还存在一对对顶角，既∠CFD等于∠HFE。因此，还能够通过两角一对边相等来证明全等三角形，从而证明线段相等。该种类型的解法要求教师在授课时能够对全等三角形的性质与解题原理精细化讲解，让学生知道何时该做辅助线，如何做出正确的辅助线。

全等三角形构图结构的不同形成了不同的解法，上述解法将三角形构造为以三角形DCF作全等的方式进行解题。但在全等三角形的构造中，还可以以三角形ADF做全等，只要三角形的一条边为CF，就能够在图中进行构图。那么，如何做出全等于三角形ADF的辅助线呢，教师需要引导学生能够以题中要求的线段CF与FE为三角形的全等边，此时需要构造一个新的三角形。通过延长AF，交平行于AD，且从E为出发点的线段，找到交点，设为点G。此时由于AD平行于BC平行于EG，且AF平行与BE，所以四边形BCGE为平行四边形，则AD等于BC等于EG。而AD与EG又被同一条直线DE穿过，依旧可以使用内错角、对顶角的原理进行解题。如∠DAC等于∠EGF，∠DAF等于∠EGF，以两角一夹边对应相等证明全等，或∠DFA等于∠EFG，以两角一对边对应相等证明全等。通过构造三角形GEF的方式来证明其全等于三角形ADF，从而证明线段DF等于FE。

通过三角形全等证明线段相等的方式还有许多，例如作FT平行与AB交BE于点T的方式来证明三角形DCF全等与三角形FTE等。可以认识到的是，在所求线段中构造三角形是一种较为简单的方式，而难点在于如何找到与其相等的全等三角形，或如何通过画辅助线的方式构造一个全等的三角形。

二、通过等比例线段性质进行解题

线段相等除了可考虑用全等三角形证明，还能够使用等比例线段的性质进证明。在该题目的解题中，由于题意可知，线段DC与线段FE是1：1的关系，因此需要通过相似图形，构建1：1的图形进行解答。能够较快发现的是，当做DC的延长线交于BE于点N时，构造出三角形DNE，由于四边形ABCD是平行四边形，所以DC平行于AB，所以CN也平行于AB，且AF平行于BE，也说明四边形ABNC是平行四边形，且CN等于AB等于DC。在三角形DCF与DNE中，DC比DN等于1：2，且DC等于DN，所以DF比DE等于1：2，并且可以证明DF等于FE。在该种解题方式中，需要引导学生形成多样化的解题思维，同样是做辅助线，但辅助线的位置不同决定了解题方式的不同，在以相似图形与等比例线段解题的方式中，需要注意的是，所作的辅助线形成的新图形应与题目所求有直接关系。

等比例线段的解题方式也不局限于一种类型，通过构造的不同辅助线能够形成不同的等比方式。可以通过以D点作DG平行于BE，交于BA的延长线与点G的方式，构造新的辅助线。由于BE平行于AC，又BE平行于DG，所以AC平行于DG，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB 平行与DC，BG也平行于DC，因此四边形ACDG也为平行四边形，可根据AG等于CD来证明AG等于AB。而BE平行于AF平行于DG，因此可说明BA与AG的比值与EF与FD的比值相同，因此可证明DF等于FE。以构造不同的等比例线段来证明线段间的关系是初中常用的方法，在该题目的解题中，延长形成的新辅助线通常是容易被学生遗忘的，教师需要从多个方面加强学生对于这些较为繁琐方法的解题能力。由类型题延伸到一些特殊的题目中，给予学生新的数学感受。

结语：

本文以全等三角形与相似三角形、等比例线段等方式进行的解题针对该题目有很好的效果。而实际上，该题目的综合性较强，在解题过程中，学生容易考虑到的往往是较为简单的部分，教师应在教学过程中不断引导学生进行创新式的解题，在学生能够较好的应用这些常用方法解题后，根据所学知识，引导学生进行多种方法解题。

参考文献：

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