LSTAR框架下一类针对单位根原假设的F检验

于寄语，向镜洁

(1.湖北经济学院 金融学院，湖北 武汉 430205；2.湖北金融发展与金融安全研究中心，湖北 武汉 430205；3.华中科技大学 经济学院，湖北 武汉 430074)

一、引言和文献回顾

现有的STAR模型单位根检验文献大都限定STAR过程yt中的转移位置参数cj和线性项系数ψ分别为0和1，而在实际STAR模型应用中，位置参数通常是先验未知的，不一定为0[12-13]；对应的线性项系数估计值在很多实证研究中也显著异于1[14-15]，从而前述文献关于位置参数及线性项系数的设定不具有普适性。在放松对上述参数约束后，理论分析表明，STAR框架内对数据过程的单位根检验不再是一个单参数检验，而是转换为一个多参数的联合检验，需要构造F统计量进行分析。有鉴于此，以LSTAR模型为例，本文细化探讨单位根过程对平稳LSTAR过程的F检验，以期推动非线性单位根检验问题的进一步发展。后文的数学符号说明如下：‖·‖为向量范数，代表弱收敛，表示一致收敛，W为定义在[0，1]上的标准布朗运动，[x]表示对x取整，o(·)表示高阶无穷小符号，O(·)和Op(·)分别表示一般测度和概率测度下的同阶符号，t=1至t=T上的求和及区间[0，1]上的积分符号简记为∑.和

二、 LSTAR框架下的F检验

(一)LSTAR框架下数据过程的平稳性设定

本文考察的LSTAR过程zt如下：

zt=m+yt

(1)

yt=ψyt-1+θyt-1[1+exp(-r(yt-1-c0))]-1+εt

m∈R为常数项。特别地，当m=0时，zt转化为一个近似0均值LSTAR(1)过程yt。ψ和θ对应其线性项和非线性项部分的系数，r>0为非线性速度调节参数，c0为位置参数，εt为平稳误差项。

在非线性框架下，传统协方差平稳概念不再适合界定数据的平稳性，相关文献通常采用Tweedie提出的几何便利性和渐近平稳的概念定义数据的平稳性[16]， 即对于序列zt，如果存在常数δ<1，B<，L<以及一个有界集合C，使得式(2)、式(3)成立，则称zt为平稳序列：

E[‖zt‖|zt-1=z]≤B，∀z∈C

(2)

E[‖zt‖|zt-1=z]<δ‖zt‖+L，∀z∉C

(3)

在这个定义下，不难推得式(1)对应的LSTAR过程的平稳性条件为：

|ψ|<1∩|ψ+θ|<1

(4)

事实上，基于条件(4)我们可以确定某个有限集C=[-K*，K*]，K*>0，使得当yt-1>K*时，[1+exp(-r(yt-1-c0))]-1(简记Fl(yt-1))和1无限接近，当yt-1<-K*时，Fl(yt-1)又和0无限接近，从而y∉C时，利用极限的定义可推知|ψ+θFl(yt-1)|<1，结合式(1)进而有‖zt‖<‖z‖+‖εt‖，式(3)得以满足；在y∈C时，由于‖yt‖≤‖ψ+θFl(yt-1)‖K*+‖εt‖，可推得式(2)成立。

另一方面，当条件(4)不满足时，不难发现数据过程会随着时间的增加很快呈现单位根或者爆炸特征。在经济问题应用中，爆炸情形很少出现，本文予以事先排除*对于爆炸情形，通过事前的ADF右侧检验很容易将其检测出来。，从而式(1)所示的LSTAR模型随着相关参数的变动呈现出非线性平稳或者单位根特征。

(二) LSTAR框架下F统计量的构建及渐进性质分析

单位根原假设下，模型(1)中的参数r，c0，θ不具有可识别性，为消除该类参数的影响，考虑对[1+exp(-r(yt-1-c0))]-1在c0处进行一阶泰勒展开，展开后的LSTAR模型(1)为如下关于参数a，b，c的辅助线性回归式：

(5)

其中a=θrm2/4-(1+ψ-rc0/4+θ/2)m，b=θr/4，c=ψ-rc0/4+(θ-mθr)/2，ut=Rt+εt，Rt为泰勒余项。当zt为单位根过程时，其滞后项及滞后平方项的系数均为0，从而LSTAR框架下的单位根检验对应于式(5)中联合检验H0：b=c=0。H0不成立，则意味着zt为非线性的平稳过程。基于这一思路，构建式(6)所示的F统计量进行单位根原假设对平稳LSTAR过程备择假设的统计检验。

(6)

(7)

(8)

引理1的推导直接参见泛函中心极限定理及Sandberg的定理1[17]，这里略证。

定理1：在假设1下，对于原假设下的单位根过程zt=zt-1+ut，有下式成立：

(9)

其中

(10)

最终可推得：

(11)

(12)

(13)

从而可以基于式(13)考察F0的统计性质。

另一方面，利用B-N分解定理有：

(14)

再次利用FWL引理，式(14)中的参数统计性质和下式(15)具有等价性：

(15)

随后，类似于定理1的证明，可推知定理2成立。

推论2和定理2表明，统计量F0和Fss具有相同的渐进分布。表1给出了相应的90%和95%分位点，分别作为5%及10%显著水平下的本文F检验的临界值。模拟中的仿真次数为10 000次，极限情形下的临界值基于T=1 000得到。

表1 统计量 F0、Fss对应临界值

三、 Size及Power表现：有限样本下的蒙特卡罗模拟

考虑到非参数调整统计量Fss的缺陷，本部分基于F0考察F检验在有限样本下的表现。作为对比，将传统ADF单位根检验以及刘雪燕等提出的t检验的表现也一并列出，分别用ADF、T_Lstar进行标记。

(一)Size 分析

Size分析考察的是统计量拒绝单位根原假设的概率表现，具体的数据生成过程为：

zt=zt-1+ut，ut=ρut-1+vt

(16)

vt由独立的正态分布N(0，1)生成，设定参数ρ∈(0，0.4，-0.4)，分别反映独立、正相关以及负相关情形下的新息误差项ut，样本容量设置T=100和T=300两种情形。F0以及ADF统计量、T_Lstar统计量的Size分析结果在表2列出。从表2可以看到，无论误差项是否存在相关性，有限样本下F0、ADF、T_Lstar的Size取值均接近0.05的名义水平，基本不存在扭曲现象，这意味着三者均能较好地识别原假设下数据过程的单位根特征。

表2 单位根过程原假设下有限样本下各统计量表现(模拟次数2 000)

(二)Power 分析

zt=yt+m

(17)

yt=ψyt-1+

θyt-1[1+exp(-r(yt-1-c))]-1+ut

ut=ρut-1+vt

Power分析下的数据生成过程如式(17)。同样设定ρ∈(0，0.4，-0.4)反映误差项ut的自相关性强弱。非线性速度调节参数r∈(0.05，0.5，5)；位置参数c0基于均匀分布U(-5，5)随机提取；由于m的取值对最终考察统计量的渐进分布无影响，设定m=0；线性和非线性项系数(ψ，θ)设置7种情形，分别为(0.85，-0.5)、(0.85，-0.1)、(0.95，-0.5)、(0.95，-0.1)、(0.99，-0.5)、(0.99，-0.1)、(1.02，-0.04)，其中前6种设定满足LSTAR模型平稳性条件(4)，最后一组参数是按照刘雪燕等的分析进行设定，以同其检验统计量T_Lstar进行有效对比。需要指出的是，刘雪燕等考察的LSTAR模型是本文模型(1)在(ψ-θ/2)=1及c=0下的特例，即zt=yt+m，Δyt=θyt-1[(1+exp(-ryt-1))-1-1/2]+ut，不过注意到(ψ-θ/2)=1的限定条件与式(4)对应的平稳条件相矛盾，从而其设定的LSTAR过程本身就不具有平稳特征，在此基础上构建的检验统计量有待商榷。

Power分析的结果在表3列出。从表3可以看到，F0在整体上优于ADF检验及T_lstar检验的表现。细化来看，以独立误差项ρ=0为例，在|ψ+θ|显著小于1，同时r相对较小时，ADF同本文F0统计量的检验效能差别不大，仍具有较高的检验势，如r=0.5，(ψ，θ)=(0.85，-0.5)，样本T=100下ADF和F0统计量的Power值分别对应0.95和0.98。注意到该情形下，|ψ+θ|显著小于1意味着数据的平稳度较强，数据走势在局部区域内具有较弱的持续性；r取值较小则反映了LSTAR过程中的非线性调节力度不大，从而最终数据所呈现出的非线性特征并不明显，此时ADF检验仍可以较好地对LSTAR模型的平稳性进行考察；不过随着|ψ+θ|和r的加大，数据呈现的非线性特征不断加强，F0相对于ADF的检验优势不断得以体现。从表3可以看到，保持上述样本T=100和r=0.5的设定不变，(ψ，θ)变动至(0.99，-0.5)时，两者的Power值分别对应于0.60和0.69；而保持(ψ，θ)=(0.85，-0.5)不变，r增加至5时，ADF和F0的Power值则分别变动至0.87和0.94。对于统计量T_Lstar而言，表3显示大部分情形下其Power值很低，甚至不足0.1；仅在(ψ，θ)设定为(1.02，-0.04)时，拒绝原假设的概率相对较高。但如前所分析，该组参数下LSTAR过程的平稳性条件并不满足，ψ>1会导致数据过程随着时间增加很快呈现爆炸特征，从而统计量T_Lstar并不能有效区分数据的单位根和非线性平稳特征。

在误差项非独立情形下(ρ=±0.4)，各统计量的相对表现类似。T_Lstar在前6组(ψ，θ)参数对应的平稳LSTAR过程下的表现仍然非常差，如T=100、r=0.5、ρ=0.4时，前6组(ψ，θ)设定下T_Lstar的Power值分别对应于(0.019，0.006，0.019，0.009，0.036，0.029)；相应地，ADF的Power值分别为(0.872，0.658，0.590，0.240，0.431，0.127)，F0的Power值为(0.926，0.697，0.683，0.277，0.516，0.150)；本文F检验的检验势明显高于前两者。

表3 备择假设下各统计量Power表现(模拟次数 2 000)

本部分模拟表明，当考察数据的非线性特征不太明显时，ADF检验同本文构造的F0统计量均具有较高检验势，两者的检验效能差别不大；不过随着非线性特征的加强，F0统计量体现出更明显的优势。另外，对于刘雪燕等提出的T_Lstar统计量，由于其模型设定的局限性，使得该t检验对平稳LSTAR过程具有较差的检验功效。因此，在非线性框架下的应用分析中，更建议采用本文的F检验考察数据的平稳性问题。

四、实证应用：对人民币实际汇率的PPP检验

PPP(购买力平价)假设实际汇率是围绕长期均衡路径上下波动的平稳过程，因此通过对实际汇率进行单位根检验可以验证PPP理论是否成立。在现实分析中，由于贸易成本、壁垒等因素，实际汇率对于均衡路径的调整往往体现出非线性性。同时，如很多文献所指，人民币升值期间的波动程度和贬值期间的波动程度存在一定程度的非对称性[20]。鉴于此，应用本文LSTAR框架下的F检验对人民币对美元实际汇率(图1)的平稳性特征进行考察，具体数据研究区段为1986年1月至2016年3月，期间的实际汇率zt是在名义汇率znt的基础上利用美国物价指数和中国物价指数之比调整得到，调整方式为zt=zntCPIUS/CPIChina，名义汇率及物价指数来源于OECD统计数据库和中国国家统计局。

图1 人民币对美元实际汇率走势图

表4 各统计量取值(利用BIC准则，检验式中滞后项阶数确定为1)

注：**代表在0.05 显著水平下拒绝单位根原假设。

表下相关参数估计结果

五、结 论

本文提出了检验线性单位根原假设对平稳LSTAR模型备择假设的F检验，在理论上丰富了非线性单位根检验的相关研究。误差项相关情形下，传统形式F统计量的渐进分布含有冗余参数，本文通过两种方式对其进行了修订：方式一，基于半参数方法得到修正统计量Fss；方式二，通过向原始辅助检验式加入合适阶数的差分滞后项进行增广回归，得到调整统计量F0。理论分析表明Fss、F0均具有中枢性，不过如很多文献所指，半参数调整方案下的单位根检验统计量在误差相关性较强时表现出较差的有限样本性质，所以在有限样本应用中不建议使用统计量Fss。在仿真实验中，基于F0和ADF检验以及刘雪燕等提出的t检验进行了对比分析，结果表明在不同参数设定下，本文提出的F检验均具有更高的检验势；ADF检验由于未考虑到数据生成机制中的非线性部分，表现差于F0；T_Lstar统计量则由于模型参数的前提约束及理论分析的缺陷，并不能有效区分数据的单位根和非线性平稳特征。最后，本文从PPP理论出发，对人民币实际汇率的平稳性特征进行了考察，进一步印证了F检验在非线性LSTAR框架下的优越性。

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