加强思想方法教学提高学生整体素养

李树臣+曹继生

【摘要】数学思想是重要的数学基础知识，是人们进行数学活动时所表现出来的数学观念及思维方式.数学教材就是利用数学思想和方法把具体知识点进行“串联”而成的，数学教学中必须强化学生对数学基本思想的感悟，這种感悟是伴随数学学习过程而实现的.数学教学中强化数学思想方法主要从四个方面入手.

【关键词】数学思想；数学教材；数形结合；探究活动

《义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》已经把学生掌握数学的“基本思想”作为课程的“总目标”来要求.这就决定了数学教学必须重视对数学思想方法的渗透，让学生在获取数学基础知识、形成基本技能的同时，能感悟并理解一些基本的数学思想方法.

为了让老师们更加重视对数学思想方法的教学研究，本文首先就数学思想方法在教材中的地位进行简单陈述，其次指出初中数学教学应向学生渗透的主要数学思想方法，最后结合一道中考题分析一下如何在解题教学中向学生渗透数学思想方法.

1数学思想方法是构成教材的主线

数学思想是指人们从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式.《课标（2011年版）》指出“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”.这就客观要求我们在编写数学教材时，应以数学思想为主线，在呈现《课标（2011年版）》界定的“课程内容”时，要以具体的知识点为“载体”，努力向学生渗透一些基本的数学思想和方法.从这个意义上讲，数学教材就是用一些重要的数学思想方法把具体知识点“串联”而成的，数学思想方法是数学教材的灵魂.

案例青岛版教材渗透“数形结合思想”的知识扫描.

“数”和“形”分属于《课标（2011年版）》界定的“数与代数”和“图形与几何”两大领域，将二者“融合”在一起的是数形结合思想.在青岛版初中数学教材的每一章内容中，几乎都能找到数形相互结合的“影像”.

七年级第1章“我们身边的图形世界”中，在研究正方体顶点的个数、棱的条数时就是引导学生从观察正方体模型得到的结果.《课标（2011年版）》提出的第一个基本事实“两点确定一条直线”反映了确定一条直线所需要点的最少“个数”，这个事实是学生通过实际作图得到的.在第2章“有理数”中，对于“数轴”是借助于“温度计”的直观形象进行感知的，“温度计”模型的直观形象有助于学生理解数轴的概念、明确构成要素.在第3章“有理数的运算”中，加法法则是借助于数轴，让学生充分利用数形结合的方法经过多次自主探究得到的.第7章“一元一次方程”中，在解决行程问题时，经常借助于线段的直观形象特点表示有关量之间的数量关系.第13章“平面图形的认识”中，在探究多边形的内角和、外角和的过程中，图形的直观特点起了关键的作用.第14章“位置与坐标”中，有序实数对和平面直角坐标系中的点的一一对应关系、在直角坐标系中，平面图形各点的坐标、求平面图形的面积等都体现出“数与形”在一定条件下可以互相转化的关系.八年级第7章“实数”中，利用几何作图方法探究长度是2，3，5等无理数的线段时，体现出了数形结合的独特意义.第10章“一次函数”中的大量问题都是借助于图形加以解决的.九年级第2章“解直角三角形”中很多概念的形成以及利用直角三角形的三边关系、三角关系，边角关系以及勾股定理等解决大量实际问题时，都是借助于几何图形的直观特点完成的.第3章“对圆的进一步认识”中，在探究圆的一些性质、定理以及结合勾股定理解答有关计算问题时，都是数形结合的完美体现.第4章“一元二次方程”中，利用一元二次方程的知识求解有关黄金分割线段的方法，可以说是利用“数”的知识解决“形”的问题的范例.第5章“对函数的再探索”中，二次函数、反比例函数的大量知识都是利用它们图象的特征来认知和探究的，在探究二次函数与一元二次方程的联系时，数形结合起了“桥梁”的作用.在利用函数的知识解答问题、特别是解答有关函数的综合性问题时，函数图象的直观特征常常带领学生走出“柳暗花明又一村”的境地.

在“统计与概率”部分，各种统计图表就是利用几何图形表达统计资料的一种直观方式.例如，在八年级第4章“数据分析”中，学生在认知有关统计量和统计图表时，数与形的结合为学生清楚、准确的表示数据、分析数据、利用数据进行分析判断，从而科学决策起到了重要的作用.九年级第6章“事件的概率”中，频数分布直方图，随机事件的变化趋势图等为我们直观的认识、探究随机现象的变化趋势提供了直观的帮助，树状图为我们简便、准确的计算有关事件的概率提供了可靠保证.

从这个意义上讲，青岛版初中数学教科书就是利用数形结合思想把《课标（2011年版）》界定的“课程内容”“串联”起来的.它为同学们理解、掌握这些课程内容以及应用有关知识解答问题提供了直观上的帮助，可以说“数”与“形”的相互结合体现了数学的本质.

这种编排顺序反映出青岛版教材对于数形结合思想方法的阶段性要求，学生在学习以上相关知识的同时能逐步感悟这一思想，从而发展学生的空间观念、几何直观等核心概念，不断提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

2向学生渗透的主要数学思想方法

学生在初中阶段的数学学习中，要感悟的基本思想主要包括：

2.1数形结合思想

《课标（2011年版）》的第一句话指出“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，可见，数学就是研究“数”和“形”的一门科学，数学的全部内容就是围绕数和形两个方面对客观事实进行提炼、演变、发展而来的.这种把数量关系和空间形式两个方面结合起来分析实际问题，并充分利用这种结合解决问题的过程就体现了数形结合的思想.显然，这种思想方法的实质体现在数量关系和空间形式的结合上，这种结合能使抽象的问题直观化，繁琐的问题简单化.正如我国著名数学家华罗庚曾说过的那样：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.endprint

2.2分类讨论思想

在研究、学习数学时，有些问题往往存在多种情况，这时，我们就要对问题可能出现的各种情况进行分类讨论，得出各种情况下对应的结论，然后才能给出问题的最终答案，这种解决问题的过程就利用了分类讨论的思想.在利用分类讨论思想解决问题时，必须按照相同的分类标准，把问题可能出现的情况无重复、不遗漏地进行研究.

2.3方程思想

在解决有些数学问题时，首先根据已知条件，找到问题中的已知量和未知量之间的等量关系，并根据等量关系建立方程，然后利用方程的知识解决问题的过程就体现了方程的思想.

笛卡尔曾说过一句话“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题.因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解.”数学教学中向学生渗透方程思想和转化思想具有重要的意义.

2.4函数思想

函数是在研究两个特殊变量之间关系时引入的重要数学概念，有了函数概念，学生的数学学习由常量时代进入变量时代，这时，要求人们用变化的观点来观察、分析、研究数学问题中存在的两个变量之间的相互联系，从中发现变化规律，并利用函数关系来思考、猜测、计算，直至解决问题，这种处理问题的过程就体现了函数的思想.

应用函数思想方法解决问题的过程分为两步：一是将实际问题转化为函数问题；二是利用相应函数的图象与性质解决问题.

2.5转化思想

任何数学知识都有“生长点”与“延伸点”，教学中，要利用好这两个“点”，巧妙的将新知识转化为已经学习过的知识，解数学题就是把要解决的问题转化为已经熟悉的问题，这样的解题过程就体现了转化的数学思想方法.通过转化，可以实现化生为熟，化未知为已知，化复杂为简单，直至求得问题的解答.事实上，通过数或形的逐步转化可以把任何数学问题化归为一个已经熟悉或已经解决过的问题.

2.6模型思想

模型思想是指能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的数学思想.《课标（2011年版）》强调指出“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义”.

3让学生在探究活动中感悟数学思想方法

《课标（2011年版）》提出“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等.学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”.这实质上向我们指出了数学思想方法教学的宏观途径：引导学生进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等探究活动，让学生在探究活动的过程中感悟数学思想方法.

要引导学生经历探究活动，关键是设计“好”的问题，教师在备课中要结合具体的知识点精心设计这样的问题.下面的考题对于指导教师设计探究性的问题，感悟数学思想方法具有很好的“导向”和“借鉴”作用.

3.1原题呈现（青岛市2017中考第23题）

数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.

探究一：求不等式x-1<2的解集.

3.3试题点评

（1）符合《课标（2011年版）》的核心理念

“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”是《课标（2011年版）》提出的核心理念.数学教学必须面向全体学生，然而，目前的数学课堂教学现实是教师的活动往往只考虑“优秀生”，而对于“中差生”常常是顾不上，具体表现在例题、练习题、教学要求的统一上.

本考题对于改变这种教学现状有一定的导向作用：考题分三部分，各个层次的考生在解答这个考题的过程中都有收获.即使对于学习最差的学生，通过阅读、思考探究一的（1）和（2），也能基本理解x-1的几何意义，会求方程x-1=2的解，从而猜想得到问题（3）的答案是-1

（2）注重对基础知识、基本技能的考查

《课标（2011年版）》指出“对基础知识和基本技能的评价，应以各学段的具体目标和要求为标准，考查学生对基础知识和基本技能的理解与掌握程度，以及在学习基础知识和基本技能过程中的表现.”

本考题考查学生的基础知识比较多，主要涉及“数与代数”中的数轴、绝对值、方程、不等式；“图形与几何”中的勾股定理、平面直角坐标系等知识.这些知识都是《课标（2011年版）》界定的“数学基础知识”，联系这些知识间的纽带主要是数轴.在运用这些知识进行探究和应用的过程中，学生一方面加深了对它们的理解，更重要的是体会到它们之间的内在联系.

（2）重視对思想方法的考查

数学思想方法被《课标（2011年版）》作为基础来要求，当然应成为中考的考查重点之一.本题通过对有关问题的探究，考查了学生对转化与化归、类比、数形结合等数学思想方法的理解和掌握情况.

4强化数学思想教学，提高学生核心素养

4.1加强数学基础知识教学

“四基”对于学生的发展至关重要，我们在教学中一定要重视学生对基础知识、基本技能的理解和掌握.遵循《课标（2011年版）》提出的“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联”要求，对于数学基础知识，不能要求学生死记硬背，而应以理解为主，在实际应用中达到巩固和深化的目的.

同时，在教学中，要充分利用知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，强化知识的整体结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解.

4.2明确渗透数学思想方法的主要途径

加强数学思想方法的教学与研究对于提高学生的数学核心素养具有重要的意义，在具体教学中应从以下几个方面向学生渗透数学思想方法：

（1）在概念的建立过程中渗透数学思想方法

数学概念是重要的基础知识，是構成数学教材的基本结构单位.数学概念的建立过程一般经过概括；表述；识别；运用四个阶段.在学生完整经历了这四个阶段后，不仅能掌握数学概念，还能感悟到隐含于概念形成过程中的数学思想和方法.

（2）采取“逐级递进、螺旋上升”的方式反复强化数学思想方法

《课标（2011年版）》提出“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的.”对于同一个思想方法可能需要多次强化，学生才能真正领悟并能熟练应用.从前面我们所述的青岛版教材对数形结合思想涉及的知识点的扫描可以看到这一点.

（3）在问题解决的过程中体现数学思想

《课标（2011年版）》在详细阐述“问题解决”中指出，让学生“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识.”我们在引导学生解决问题时，应反复强化问题解决过程中所表现出来的数学思想和方法.

（4）在知识的归纳总结中概括数学思想方法

数学思想方法是以具体知识点为载体，以内隐的方式溶于数学知识体系之中的.为了把这种思想内化成学生自己的观点，就要在知识教学特别是对知识进行总结时，应从数学思想的高度对这些知识进行归纳概括.

在利用以上几个途径向学生渗透数学思想方法时，教师应在认真学习《课标（2011年版）》的基础上，仔细研读教材，按照学生的认知发展规律，精心设计问题情境，引导学生主动的开展探究活动，在探究的过程中获得数学的基础知识，形成基本技能，感悟基本思想与方法，获得基本的数学活动经验，全面实现《课标（2011年版）》提出的课程目标.

作者简介李树臣（1962—），男，山东沂南人，中学高级教师，《山东教育》特约记者，山东省创新教育优秀实验教师，临沂市科研型骨干教师，兼任临沂大学学业导师.在省级以上刊物发表500多篇论文，其中核心期刊30余篇，被人大复印资料中心全文转载40余篇.青岛版初中数学教材核心作者.有三项研究成果获山东省教学成果奖.两项成果获山东省教育科研成果二等奖，被评为山东省优秀教育科研先进个人.endprint