知识、经验和思维同步生长：数学实验教学的应然选择

【摘要】数学实验是转变初中数学教与学的有效路径，但数学实验教学还存在重视知识获取而忽视基本经验积累及思维发展等问题.基于“翻转茶杯”的实验教学分析，笔者认为在数学实验教学中，应关注学生基本活动经验的积累，以实现知识、经验和思维的同步生长.

【关键词】数学实验；教学分析；经验积累；思维发展

《义务教育数学课程标准（2011版）》提出了“基本数学活动经验”的基本目标，明确指出：“动手实践”是学习数学的一种重要方式，数学实验正是学生“动手实践”有效载体.然而，我们常常发现：不少数学实验流于形式，为达到预设结论人为设置“实验”捷径，仅重视知识的获取，而往往忽视数学实验的真实性、探究性与过程性，轻视数学实验在发展学生数学思维的作用，以至于数学活动经验的积累不能落地.

实践表明，在数学实验活动中，教师应合理指导学生动手操作，培养学生的动手能力、合作能力及创新能力，重视活动中所蕴含的数学知识和思想方法，发展学生“用数学”的意识，积累数学活动经验，逐步提升学生的数学思维.那么，如何在数学实验中体现探究性和过程性，积累数学活动经验？如何在数学实验中发展学生数学思维？如何在数学实验教学中实现知识、经验、思维同步生长？这些问题都是一些数学教师进行实验教学不得不思考的问题.

本文结合“翻转茶杯”的教学案例片段，试图为数学实验教学探索一条可行而有效的实施路径.

1动手实践，“一船双桨”——经验为“船”，知识和思维为“桨”

在实验中，笔者发现：在没有进行算理分析之前，学生对实验结果没有正确的预测，实验态度往往盲从、轻率.

教学片段1：

实验活动：桌子上有3只杯口朝上的茶杯，每次翻转2只，能否经过若干次翻转使着3只杯子的杯口全部朝下？（下文称之为活动1）

实验伊始，几乎所有学生都积极投入到实验之中，3只杯子在他们手中来回翻转，他们反复实验……实验中，学生们争论声不绝于耳：

生1：咦？怎么3只杯子的杯口不能全部朝下呢？

生2：因为实验次数太少了吧，也许再多做几次实验，3只杯子的杯口就能够全部朝下了呢！

生3：我做了很多次实验了啊？怎么3只杯子的杯口还不能全部朝下呢？

生4：每次翻转2只，是不是无论翻转多少次3只杯子的杯口都不能全部朝下呀？

学生一片哗然，争论不休.

此时教师契机点拨：同学们，到底谁的说法是正确的呢？无休止的盲目实验可行吗？——没有理论支撑的争论孰对孰错，难以分辨！那么该实验的结果到底是怎样的？能否用数学知识进行解释和判断？

师：在这个实验活动中，联系相关数学知识，如何更简捷地记录茶杯在翻转过程中的朝上、朝下状况？

生5：可以用两个正、负数.

师：大家讨论一下，他的说法有道理吗？为什么？

生6：有道理！茶杯由“朝上”翻转为“朝下”，这是一组相反意义的量，具有相反意义的量可以用正、负数表示.

师：那么用什么具体的正数和负数来表示呢？

生7：用+1和-1，若用“+1”表示“杯口朝上”，则用“-1”表示“杯口朝下”.

师：为什么？大家认为用+1和-1是否合适？

学生讨论，达成共识：合适，因为+1和-1是绝对值最小的非零整数，这两个数字比较简单.

师：关注茶杯杯口朝下的个数，也就是关注负数的个数！什么数学运算也关注负数的个数呢？

生8：有理数的乘方运算！

师：大家能说一说与+1和-1相关的乘方运算吗？

生9：-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是+1.

师：我们一起看实验图示：

如果用“+1”和“-1”分别表示“杯口朝上”和“杯口朝下”，则可以画出图示：

教师引导学生观察“数字记录图”，启发学生思考：“横”看，3个数的积分别是多少？

生10：每一行的积可以分别记录如下：

师：如果3只杯子开口全部朝下，它们的积应该是多少？

（众）生：-1.

师：此实验活动的本质是什么？

生11：探究3只杯子開口是否能全部朝下，相当于探究最后的数字状态之积能不能是-1！

师：非常聪明！大家接下来继续思考：“纵”看相邻的两行，利用什么运算可以理解变化的数字？

生12：因为在翻转时，“+1”变“-1”，符号发生了改变，我想到利用有理数乘法运算可以理解变化的数字：任何数乘-1得原数的相反数.

生13：也就是：“+1”变“-1”的过程可以理解为（+1）×（-1）=-1，即翻转一个茶杯相当于乘以1个-1.

师：此活动规定每次翻转2只，相当于乘以什么数字？

生14：每次翻转2只相当于乘以两个-1，因为（-1）2=1，所以相当于乘以+1.

师：与上一横行的数字相比较，相邻的下一行数字的积有没有改变？为什么？

生15：每次翻转2只，相当于乘以+1.根据任何数乘+1仍得原数，所以相邻两行的数字之积保持不变.endprint

师：大家分别思考下面问题：原始状态下的数字之积是多少？根据以上推理每一行的积是多少？而我们期望“开口向下”，即期望状态的积应是多少？你能得到什么结论？

生16：原始狀态是3只杯子开口向上，即相当于数字之积是+1；每一次翻转之后的对应状态之积仍然为+1，而我们期望“开口向下”，即期望状态的积为-1，所以是不可能实现全部开口向下的.

为了便于学生理解，教师可以鼓励学生借助多组数字的符号变化替代茶杯翻转，让学生感悟“符号法则”的运用，梳理实验过程、验证实验结论：

教师引导学生观察以上数字演示，发现规律：每次翻转之后，3个数字之积总为+1，不可能为-1，也就不可能达到“3个-1”的预期状态，从而确定实验结论：取3只茶杯，杯口全部朝上.每次翻转2只茶杯，无论经过多少次操作都不能使杯口全部朝下.

教师也可以用下面的图示帮助学生理解实验“原理”：

学生在小组讨论、教师指导的基础上开展实验活动，由初步感知——逐渐理解——完全领悟——熟练运用，学生在活动中经历尝试——挫败——困惑——反思——再实验——顿悟的螺旋式上升过程，从而不断积累、丰富活动经验.

经过以上思考、探究与梳理，学生“知其然，也知其所以然”，“明”数学知识，“积”数学经验，“顺”数学思维，明然后再动手验证，一定会豁然开朗.

数学实验是培养数学思维的有效途径之一，知识与经验是开展数学实验的动力系统，可称之为“双桨”.在活动1中，学生把数学知识——“有理数乘方、乘法运算的符号法则”运用于实验，学生初步感受数学的工具性、理解算理，同时借助充分的数学实验活动，积累学生的活动经验，有效提高学生的探究学习能力、发展其数学思维，从而成功启动“思维之舟”.

2问题导学，“一体两翼”——思维为“体”，经验和知识为“翼”

数学是思维的体操，可关联的数学知识和经验是放飞思维的“双翼”，契机追问则是促进思维、知识与经验契合的有效途径.南通市李庾南教授在诠释“有规则的自由课堂”时强调了“问题导学”的重要性——“问题是接生婆，它能帮助新思想的诞生”.以问题引导学生思考，学生的“新思想”——解题依据、解题策略、解题思想和方法都应运而生，数学思维如春笋般生长.“教师之为教，不在全盘授予，而在相机引导”，通过设疑、追问，将数学问题有序引领、延伸，学生通过思考解疑，对相关知识点进行深入挖掘，不断激发学生思考、争论，从而解决问题障碍，有效探索解题思路，逐步培养学生思维的严谨性和缜密性.

如在分析活动1时，教师提出问题：如何更简捷地记录茶杯在翻转过程中的朝上、朝下状况？该活动给我们带来的数学思考是什么？能否用数学知识解释和判断？这是一个激发学生思维、提升学生实践能力和数学知识的深度话题.

同时，在活动中，教师应鼓励学生主动参与提出问题、设计问题，并积极动手操作，及时总结活动经验，使实践与理论完美结合，进一步提升学生数学思维水平.

教学片段2：

师：同学们，提出一个问题，比解决一个问题更为重要.在“翻转茶杯”问题中，在什么情况能使杯口全部朝下？你能尝试设计其他实验活动吗？

（学生各抒己见，教师汇总：

活动2：取4只茶杯，杯口全部朝上.每次翻转3只茶杯，经过若干次操作，能否使杯口全部朝下？

活动3：取7只茶杯，杯口全部朝上.每次翻转3只茶杯，经过若干次操作，能否使杯口全部朝下？

活动4：取6只茶杯，杯口全部朝上.每次翻转4只茶杯，经过若干次操作，能否使杯口全部朝下？）

师：同学们，请根据已有的活动经验完成以上活动，并把自己的想法和结论与大家分享哦！

生17：对于活动2，首先从算理上对最初状态和期望状态做初步分析，

杯口全部朝上：

（+1）×（+1）×（+1）×（+1）=（+1）4=+1；

杯口全部朝下：

（-1）×（-1）×（-1）×（-1）=（-1）4=+1.

然后从算理上预测实验过程及结果：每次翻转3只茶杯，相当于将其中的3个乘以-1，而（-1）×（-1）×（-1）=（-1）3=-1，即每次翻转3只茶杯，相当于乘以-1.当翻转偶数次时，根据-1的偶次幂是+1，因此经过适当的偶数次翻转，4个元素的积就为+1，从而预测实验结论：取4只茶杯，杯口全部朝上.每次翻转3只茶杯，经过若干次操作，能使杯口全部朝下.

生18：我能用数字模拟实验过程：

生19：我能画算理图示：

学生通过翻转茶杯实验，进一步验证以上推理，感受算理，明确实验结论：取4只茶杯，杯口全部朝上.每次翻转3只茶杯，经过若干次操作，能使杯口全部朝下.

以问导学，教师引导学生进行思维转换，数学实验与数学知识产生“对对碰”.在以上活动中，“翻转茶杯”与“符号法则”似乎风马牛不相及，这就需要教师探寻它们之间的连接点，合理引导学生挖掘其中的数学元素，把“未知”转化为“已知”，联系已有的知识解决问题，这种转化思想是学生思维能力和学习能力的体现.

在活动过程中，教师契机追问：“在什么情况下？”、“又有哪些情况？”，这些问题无疑给学生许多争辩和讨论的空间，有利于提高学生发现问题和分类讨论问题的能力，这有利于培养学生的问题意识和探究精神，进一步发展学生思维.

3归纳提升，“一车两轮”——知识获取为“车”，积累经验和思维发展为“轮”

在开展实践活动过程中，教师应遵循循序渐进的教学原则，有序地呈现活动内容，并注意链接相关数学知识，使“翻转茶杯”与“符号法则”的有效融合，以积累经验、发展思维为“轮”，双轮驱动，生成数学知识.

在开展部分活动之后，学生已经积累了较为丰富的活动经验，可以按照以下步骤独立完成：endprint

（1）从算理上分析，预测实验过程及结果（鼓励学生独立画出算理示意图）；

（2）实验演示与验证.

教学片段3：

学生独立完成以下实验活动，并交流实验过程、方法及经验：

活动3：取7只茶杯，杯口全部朝上.每次翻转3只茶杯，经过若干次操作，能否使杯口全部朝下？

活动4：取6只茶杯，杯口全部朝上.每次翻转4只茶杯，经过若干次操作，能否使杯口全部朝下？

师：对于活动3，你还有其他方法吗？

生20：活动3有更简便的推测方法！活动3与活动2比较，每次翻转的茶杯个数相同，而茶杯的总数不同.在活动3中，7只茶杯的杯口全部朝上，在第一次翻转3只茶杯后，还剩下4只茶杯仍然杯口朝上，此时实验活动就转化为活动2中“4只茶杯杯口朝上，每次翻转3只茶杯”的问题了.

师：方法很简洁，很棒！运用了转化的思想方法.

师：归纳与总结是积累数学活动经验、沉淀数学知识的基本方法.通过以上实验，你能归纳一下“翻转茶杯”的不同题型吗？

生21：根据茶杯总数和每次翻转茶杯数是奇数个或偶数个，我认为可以分成4类：“奇翻奇”、“偶翻偶”、“奇翻偶”或“偶翻奇”.

生22：根据每次翻转茶杯数的不同，我认为可以分成2类：

（1）每次翻转茶杯数是奇数个时，无论开口向上的茶杯總数是偶数个还是奇数个，经过若干次操作，总能使杯口全部朝下；

（2）每次翻转茶杯数是偶数个，当开口向上的茶杯总数是偶数个时，经过若干次操作，总能使杯口全部朝下；当开口向上的茶杯总数是奇数个时，无论经过多少次操作，都不能使杯口全部朝下.

生23：根据是否能使杯口全部朝下，我认为可以分成另外2类：

（1）当开口向上的茶杯总数是奇数个，每次翻转茶杯数是偶数个时，无论经过多少次操作，不能使杯口全部朝下；

（2）除以上情况以外，总能使杯口全部朝下.

师：不同的标准，有不同的分类结果！（鼓掌）

翻转茶杯实验的结论与茶杯总数、每次翻转茶杯的个数有关，教师要启发学生从不同角度分类归纳，沉淀数学知识，有效提升学生思维水平.当然，对于翻转茶杯实验，教师也可以引导学生做如下模型转换：

把“朝上”记作1，“朝下”表示0，来简洁地刻画翻转过程，并链接有理数的加法运算的结果——和是否为0，来判断由原始状态的若干个“1”，能否翻转为若干个“0”.与前面活动中的“符号法则”相比较，这种模型转换较繁琐，但无疑给学生一种“条条大路通罗马”之感，让学生感受解法的多样性和灵活性；同时激励学生以广角的思维形式参与数学实践活动，揭开数学实验的奥秘、积淀数学知识.

笔者认为，在数学实验中，不能以获得实验结论、解决数学问题作为终结目标，应关注其中包含的数学算理、数学思想方法.因而教师应重视实践活动的“数学味道”，指导学生动手操作实践，挖掘其中的数学知识和思想方法，这对于培养学生良好的思考习惯、积淀数学知识、丰富活动经验以及发展学生思维等方面都有着积极的推进作用.

综上，数学实验活动，它运用物化的实验形象地反映了数学原理，强调问题解决和思维价值，实现了数学知识、活动经验和数学思维的同步生长.

作者简介王翠玲（1979—），女，中学高级教师，主要从事课堂教学工作与研究，曾多次参加徐州市、睢宁县优质课评比、基本功大赛等活动，均荣获一等奖.目前，主持研究3个市级课题，有多篇论文获奖或发表，其中2017年已有3篇论文在省级期刊发表，1篇论文发表于核心刊物.endprint