零点分区法解不等式

董吕修

[摘 要] 在高中数学中，数轴标根法是解一元高次不等式的常用手段. 而这种方法是建立在多项式理论的基础上得到的，因此有一定的局限性. 本文利用連续函数的介值定理，作为数轴标根法的一种推广，给出了初等不等式（基本上可包括几乎所有类型的不等式）的一种统一解法（笔者将此法称为“零点分区法”），并结合几个例子来谈谈它在不等式中的应用，以期对大家有所启示.

[关键词] 不等式；连续函数；介值定理；零点；分界点；统一解法

[?] 零点分区法及证明

为给出其证明，需要用到下面的引理：

引理1（介值性定理） 设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b），则对介于f（a）与f（b）之间的任意一个实数μ，都至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）=μ.

为方便讨论，用符号I表示区间，它可以是9种区间类型中的任何一种. 用不等式f（x）>0（或<0，≥0，≤0）表示初等不等式，它包括有理不等式（即整式不等式和分式不等式），无理不等式（特例绝对值不等式等），超越不等式（如对数不等式、指数不等式、三角不等式和反三角不等式）.

结合引理1及连续函数图像的几何直观可以立即得到下列推论，它为零点分区法解不等式提供了理论依据.

推论1 设函数f（x）在区间I上连续，且f（x）≠0，?x∈I，则f（x）在I上恒正或恒负.

注：（1）由于连续函数在相邻两个零点（如果有的话）之间的区间上处处不为0，因此它在该区间（不包括端点）上保号；

（2）可由区间I内任意一点的函数值符号确定函数f（x）在I上的符号.

事实上，高中阶段接触到的函数主要是初等函数，而初等函数在其定义域的各子区间上连续，因此对绝大多数函数而言，推论1的连续性条件是满足的.

基于上述理论可以归纳出如下用零点分区法解初等不等式的一般步骤：

（1）求出不等式的定义域（即为不等式两边函数的定义域的交集）；

（2）解不等式对应的方程f（x）=0，求出其根（注意验根）；

（3）用方程的全部根将定义域分成若干个子区间；

（4）在各子区间内任取一点求出其函数值，根据推论1确定函数f（x）在各子区间上的符号；

（5）根据函数f（x）在各子区间上的符号，写出不等式的解集.

注：从上述步骤可以看出，解不等式的实质就是解方程. 即不等式的解集的端点只可能是定义域的分界点或不等式相应方程的根.

[?] 零点分区法在不等式中的应用