关于水轮转动问题教学几个困惑的探究

谭圆之

[摘 要] 水轮转动问题是一个典型的三角函数模型的应用问题，转动水轮上的质点所做的简谐运动实际上就是在原地打转，根本就没有“走”，既然原地打转，三角函数图像却可以跑得很远.教学中，利用任意角的三角函数定义很自然地研究质点运动与时间的函数关系，利用单位圆的正弦线作正弦函数图像形成过程建立两者之间的联系，在实际图形与三角函数图像之间需要建立一种默契和信任.

[关键词] 水轮转动；三角函数模型；教学困惑

水轮转动的问题在苏教版教材作为例题、习题多次出现，而在调研试卷中也时隐时现. 但是作为简单的简谐运动，在数学中应用三角函数图像来研究水轮所做的圆周运动，尤其是高三文科班学生，理解起来还是有一定的距离. 今再次审视这部分内容，感触颇深.

[?] 课本例题再现

苏教版教材必修4第43页例2：一个半径为3 m的水轮如图1所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上的点P从水面浮现时（图中点P0）开始计算时间.

（1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数？

（2）点P第一次到达最高点大约要多少时间？

事实上在这个例题之前的例1，是研究简谐运动的物体对平衡位置的位移x与时间t之间的函数关系，其与三角函数图像更贴近，而本题是一个有关圆周运动的问题，研究圆周运动的点距离平衡位置的高度与时间t之间的函数关系，它与三角函数图像的联系，从表面上看仅仅在于动点P相对x轴上下呈现周期性出现，因此两者联系起来在教学实践中显得稍微抽象些，尤其随着新课学习时间的流逝，特别是进入高三以后，在遇到这种类型的问题，总感觉牵强得很.

[?] 为什么水轮转动的问题可以抽象成三角函数模型

在教学实践中，笔者曾经尝试过利用物理概念解释，也尝试过用任意角的三角函数的定义等两种策略.

1. 物理知识解释说

在我们的印象中，三角函数是典型的周期函数，而水轮转动恰好也是周期运动的，从这一点上看，水轮转动和三角函数有相似之处，把水轮转动的数学模型抽象成三角函数具有一定的合理性，因此我国的高中物理新教材教师用书中说：凡符合正弦或余弦变化的运动，都叫简谐运动. 由此看来，简谐运动是被烙上正弦函数模型的烙印了，所以理科班的学生理解起来困难不太大，而对于物理不是很精通的文科班学生就难说了.

为了让学生能够在自己的最近发展区里寻找到一点物理的味道，教学实践中笔者翻查了物理书中相关概念，尝试让文科班学生能形成一种认同感.

（1）圆周运动：一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动；

（2）简谐运动：如图2，如果质点的位移是随时间按正弦函数的规律变化的，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫简谐运动. 由此可见，上述例题水轮所做的圆周运动中，点P距离与水面平行的那条直径的位移，也就是包含正负号的高度的变换，就完全符合简谐运动的特征，水轮上的点P的位移随时间，就应该按照正弦函数的规律变化，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线.

2. 任意角的三角函数定义说

在教学中，笔者尝试先搭建几个台阶：

（1）当水轮上的点P从水平直径右端点开始计时，在t s内所转过的角为θ，试求出点P距离水直径的高度y表示为θ的函数.

（2）当水轮上的点P从竖直直径上端开始计时，在t s内所转过的角为θ，试求出点P距离水直径的高度y表示为θ的函数.

（3）当水轮上的点P从竖直直径下端开始计，在t s内所转过的角为θ，试求出点P距离水直径的高度y表示为θ的函数.

（4）当水轮上的点P从水平直径右端点开始计时，在t s内所转过的角为θ，试求出点P距离水直径的高度y表示为时间t（s）函数.

（5）当水轮上的点P从刚浮出水面开始计时，在t s内所转过的角为θ，试求出点P距离水直径的高度y表示为时间t（s）函数.

[?] 水轮转动中质点“运动实图”与三角函数图像怎样建立函数关系

水轮转动时，质点所做的简谐运动实际上就是在原地打转，根本就没有“走”，它每次偏离平衡位置最远不超过振幅，而且也永远逃不出振幅画定的圈圈之外. 但是，不少学生就是搞不明白，既然原地打转，为什么三角函数图像却可以跑得很远？于是纠结而不能自拔. 除了利用任意角的三角函数定义很自然地研究质点运动与时间的函数关系，教学实践中笔者也尝试利用单位圆的正弦线作正弦函数图像形成过程建立两者之间的联系.

只要稍微回忆一下单位圆作三角函数图像，我们不难想象作圆周运动的质点离开水平线的位移，实质上就是单位圆正弦线上以相应角度为该运动时刻所对应的位移. 明白这个道理，不难理解圆周运动的质点的“运动实图”可以类比单位圆，只不过“运动实图”的半径不一定是1个单位，进而理解“运动实图”模拟正、余弦函数图像. 我们就拿前面的五个台阶来讨论这个话题：

（1）当水轮上的点P从水平直径右端點开始计时，时间为0，位移也是0，就是说三角函数图像过（0，0），之后位移增大，这是标准的正弦函数y=Asinθ图像；

（2）当水轮上的点P从竖直直径上端开始计时，时间为0，位移也是A，就是说三角函数图像过（0，A），之后位移减小，这是标准的余弦函数y=Acosθ图像；

（3）当水轮上的点P从竖直直径下端开始计时，时间为0，位移也是-A，就是说三角函数图像过（0，-A），之后位移增大，这是函数y=-Acosθ图像；

可见，我们只需要根据质点旋转角终边位置高度为纵坐标，以计时时间为横坐标，确定对应三角函数图像上的点，比如将水轮上的点P初始位置看作正弦函数图像上的一个特殊点，再加上圆周运动的周期，最后可以利用代点法不难求出函数的解析式.

[?] 水轮转动计时的不同，对正弦函数y=Asin（ωt+φ）的哪些量有影響

水轮转动计时开始的时间就是转动时间t=0的时刻，那么它直接决定了函数图像与y轴的交点的位置，相当于三角函数图像开始的位置，那么t=0的时刻就可以得到图像的一个点的坐标. 同时，根据水轮转动的方向和点P位移的增减，还可以判断函数图像的变换趋势.

可见，水轮转动计时开始的时间就是转动时间t=0的时刻，由t=0的时刻可以得到图像的一个点的坐标，再用代点法可以求出变量φ，而其他基本量没有形成直接影响. 当然至此我们也能获得振幅、角速度、周期、初相位等概念在圆周运动中的实际意义：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，在圆周运动中，R是匀速圆周运动的半径；角速度ω是匀速圆周运动的单位时间内所旋转的角度；周期是做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，也就是转动一周的时间；初相位φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向）.

[?] 点P距离水面的高度与到水面的距离有何区别

教学中，部分学生对于例题中高度是否需要加绝对值，总要纠结一番. 其实，高度的概念，和在学生刚刚认识负数的时候接触到的海拔高度的概念、温度的度数等概念一样，本身应该有正负之分，也就是说在水面上方为正，下方为负，这一点在题目中不像单摆运动、质点简谐振动那样要规定哪个方向为正.但是只要研究距离，当然应该是高度或者位移的绝对值.

[?] 水轮转动问题动点P相对的平衡为何总是指向水平直径而简谐运动却选点

在教学中，我们也会不自觉地产生一种莫名的疑惑，为什么水轮转动问题总是研究P到水平直径的高度或者位移？动点P到水轮的任一条直径的位移都是一种三角函数模型，但是我们经常要研究动点到水面的高度的变化规律，所以把水平直径作为平衡才具有现实意义.

试问，为何不选择轴心作平衡位置？这个问题很简单，因为水轮上的点P到轴心距离不变，研究它干什么？当然这并不意味着“点”不可以作为平衡位置.

案例3 如图4所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到平衡位置最远处时开始计时.

评注：本题属于质子振动问题，也可以仿效水轮转动问题研究，除了不能直接在实物图上简历直角坐标系，只能利用待定系数法. 题中物体向右运动到平衡位置最远处时开始计时，实际上说明正弦函数图像经过点（0，3），这是求φ的关键条件.当然本题既然知道三角函数图像的这一特征，实际上我们在设函数时也可以直接设y=Acos（ωt）.