认识结构，事半功倍

侯禹++郑莹莹

[摘 要] 本文通过对不同题目结构、形式的认识、分析，找到更加合理、简洁的解题方法.说明对学生认真观察、分析问题培养的重要性.

[关键词] 认知结构；代数结构；解题

在学生看来，已知条件多的题目往往更容易入手，就怕遇到已知条件较少的问题. 其实当已知条件较少，尤其是已知条件以代数式的形式给出的题目，主要是考查学生对其结构、形式的认识，而能将代数式的结构分析清楚，会使解题方法简便得多，从而达到事半功倍的效果.

点评：此方法运用了积化和差的方法.但这种方法大纲并没有要求学生掌握，是无法操作的. 那么该如何将这个问题转化成我们所学习过的知识呢？如果注意到这样的二次齐次型恰好和三角形的余弦定理结构相似，而且谈角的问题常用到三角形作为载体，那么我们自然会想到构以a=sin5°，b=sin55°为边的三角形.

解法二：

点评：此方法充分利用代数式特征，结合已学知识，利用课本的定理解决了这样的问题.

综上，函数f（x）的值域为[1，2].

点评：此方法利用了最传统的三角代换，充分利用三角函数正余弦平方和为定值的特征解决问题，是学生较容易掌握的方法，在高一阶段即可解决.

解法二：

点评：此方法是学生在学习了向量知识后，由代数结构的特征构造了向量数量积的运算，充分利用a，b模为定值，将问题转化为向量夹角的问题.

解法三：

在此处与解法二前面是一样的，在学生学完高二的知识后，又多了一样工具就是圆锥曲线，那么此问题即为在点A（1，0），B（0，）以及椭圆u2+v2=1在第一象限的范围内，其目标函数z=u+v的最值.

如图3，易知，当u=-v+z与椭圓相切时，z取得最大值.

点评：此方法是学生在高二学习了圆锥曲线及线性规划后，掌握的又一类求最值的方法.

由此例我们看出对代数式结构特征的认识是非常重要的. 随着学生知识的增长，同一个问题可以从不同角度认识，则即会产生不同的方法，那么我们平时可以多积累这样的问题，让学生明白他们所学习的知识是相通的. 另外此问题也可用柯西不等式求解，此处就不再赘述了.

从以上两个比较具有代表性的问题可以看出，对代数式的结构进行充分的认识，往往可以简化我们的问题. 向学生渗透一些类似的思想方法，有利于学生数学素养的提高，对数学问题有更高的认识与理解，也常常让学生在解决一些条件较少的困难问题时，能够做到事半功倍.