浅析数学竞赛中的抽象函数方程问题

任小平

[摘 要] 对于抽象函数及其函数方程问题的解答，其关键在于捕捉题目的信息特征，发现解决问题的突破口，寻求合理、简洁的解题方法，达到化繁为简、化难为易的目的.

[关键词] 抽象函数；结构特征；解题方法

抽象函数及其函数方程问题越来越多地受到命题者的青睐，不仅要求对函数的本质有着深刻的理解，而且解题方法灵活多变，求解技巧性强，同时涉及的范围较广，对学生掌握所学知识之间的内在联系要求较高. 对学生的数学素养提出了较高要求，因此是数学竞赛的热点和难点.本文归纳了一些求解抽象函数的方法和技巧，以达到抛砖引玉的目的.

[?] 巧取特殊值，求解函数解析式

对于多个变量的抽象函数方程，可将其中的某个变量视为主元，进行恰当的赋值，形成“关系链”，从而简化运算，达到特殊引路，探求一般规律的目的和效果.

例1：求所有函数f：R→R，使得对所有的x，y∈R，有

评注：巧取特殊值，简化运算，形成“关系链”，起到了“特殊探路把门敲，化繁为简层次高”的效果，从而优化解题技巧.

[?] 巧构结构式，求解函数解析式

对于一些多变量的抽象函数方程，当变量的取值范围对等时，往往可以通过变换变量的位置，将隐含的结构关系式外显化，然后通过外显的结构特征和性质，使问题得以转化，达到解决问题的目的.

例2：设函数f：R→R，满足f（0）=1，且对任意的x，y∈R，都有

f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2，则f（x）=________.

（2004年全国高中数学联合竞赛试题）

分析与解答：题此题中的函数方程含两个变量x，y，而两者关系对等，将两者交换位置，则可得到另一个方程，在聯立两个方程得到一个新的关系式；再结合条件即可求得解析式.

即令x=y，y=x，有f（yx+1）=f（y）f（x）- f（x）-y+2（x，y∈R），

结合条件中的f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2（x，y∈R），

解得f（x）-x=f（y）-y（x，y∈R）.

由于对任意的x，y都成立，

则f（x）-x=C（常数）.

又由于f（0）=1，

于是将x=0带入上式，

解得C=1，从而f（x）=x+1.

评注：在解一些抽象函数方程、方程组时，通过变换、转化，将内在的信息特征外显化，发现可用于构造的因素，引入新的形式，借助新形式的性质，使复杂的运算和推证变得容易处理，使问题变得清晰可解.

[?] 巧用换元法，求解函数解析式

对于一些结构复杂的函数方程，利用变量代换的方法，将抽象的函数方程式转化为新变量形式，以整体形式代入，转化为各字母的方程组形式，从而解出具体的函数解析式.